【01方程组的几何解释】

最新推荐文章于 2025-11-25 10:45:17 发布

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本文探讨了线性方程组的几何意义，包括行图像和列图像的解析，阐述了二维空间中两条直线的交点是方程组的解，以及在高维空间中的推广。此外，介绍了矩阵乘向量的计算方法，强调了非奇异矩阵在求解线性方程组中的关键作用。

定义一个线性方程组如下： ${2x−y=0−x+2y=3\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-y=0 & \\ -x+2y=3 & \end{array} \right.$

我们用矩阵形式表达可以得到： $2][xy]=[03]\left[ {\begin{array}{cc} ~~2\quad-1\\ -1\quad~~~2 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} x\\ y \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 3 \end{array} } \right]$

我们称 $2]\left[ {\begin{array}{cc} ~~2\quad-1\\ -1\quad~~~2 \end{array} } \right]$ 为系数矩阵，通常用 $A$ 表示
$[xy]\left[ {\begin{array}{cc} x\\ y \end{array} } \right]$ 为未知数向量，通常用 $X\textbf X$ 表示
$[03]\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 3 \end{array} } \right]$ 为常数向量，通常用 $b$ 表示

因此我们的的线性方程组可以写成 $AX=bA\textbf X=b$

下面我们再来观察这两个式子的行图像：
在这里插入图片描述

可以看到这两条直线相交于点 $(1, 2)$ ，因此 $(1, 2)$ 就是这个方程的解
其意义就是两条直线的交点

下面我们再来看列图像：

我们可以将式子写成 $x[2−1]+y[−12]=[03]x\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ -1 \end{array} } \right]+y\left[ {\begin{array}{cc} -1\\ 2 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 3 \end{array} } \right]$
因此我们的目的就变成了寻找正确的线性组合，使得向量 $[2−1]\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ -1 \end{array} } \right]$ 和向量 $[−12]\left[ {\begin{array}{cc} -1\\ 2 \end{array} } \right]$ 来表示向量 $[03]\left[ {\begin{array}{cc} 0\\ 3 \end{array} } \right]$
我们对两个系数向量作图可得：
前面我们已经求解 $x = 1, y = 2$ ，因此我们不妨画出 $[2−1]+y[−12]\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ -1 \end{array} } \right]+y\left[ {\begin{array}{cc} -1\\ 2 \end{array} } \right]$ 可以看到：
正好得到我们的向量 $[0：3]\left[ {\begin{array}{cc} 0\\： 3 \end{array} } \right]$
其意义就是线性空间中用适当的线性组合用两个任意不平行的向量表示任意其他向量
如果我们选择任意的 $x$ 和 $y$ 就能得到任意的 $b$ ，其可能结果将会充满整个向量空间

同时我们可以将上述两种理解方式扩展到高维

假设是 $n$ 维空间
那么通过行图像来看就是 $n$ 个超平面的交点坐标
通过列图像来看就是求得一组适当的线性组合用 $n$ 个互不平行的系数向量来表示解向量 $b$

现在我们考虑一个问题，我们对于任意的 $b$ ，是否都能取得适当的 $X\textbf X$ 使得 $AX=bA\textbf X=b$ ？
或者说列的线性组合是否能覆盖整个 $n$ 维空间？

如果是的话，那么我们理论上就可以用消元法来求解任意的 $b$
对于非奇异矩阵或者说可逆矩阵或者说满秩矩阵这个问题的答案是yes
或者说 $A$ 中所有的列向量都是互不平行的这个答案是yes

前面有提到 $AX=bA\textbf X=b$ ，这是一个矩阵乘向量的问题，那么他该如何进行计算呢？

假设我们要进行如下计算： $[2513][12]\left[ {\begin{array}{cc} 2\quad 5\\ 1\quad3 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\\ 2 \end{array} } \right]$

那么我们将有两种计算方法：

按列计算：
$[2513][12]=1[21]+2[53]=[127]\left[ {\begin{array}{cc} 2\quad 5\\ 1\quad3 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\\ 2 \end{array} } \right]=1\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ 1 \end{array} } \right]+2\left[ {\begin{array}{cc} 5\\ 3 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 12\\ 7 \end{array} } \right]$
按行计算：
$[2513][12]=[2×1+5×21×1+3×2]=[127]\left[ {\begin{array}{cc} 2\quad 5\\ 1\quad3 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\\ 2 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 2\times1+5\times2\\ 1\times1+3\times2 \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 12\\ 7 \end{array} } \right]$