第二讲矩阵消元——用矩阵的左乘表示矩阵消元的过程

最新推荐文章于 2025-02-15 22:37:52 发布

原创

最新推荐文章于 2025-02-15 22:37:52 发布 · 1.4k 阅读

23 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#矩阵 #线性代数 #消元

第二讲主要内容：

（1）消元（elimination）：成功的情况和失效的情况

（2）回代（back substitution）

（3）矩阵左乘和右乘（matrix multiplication）

一、消元

所谓的消元，我们从整个方程组的视角来看，其实本质上是整合信息，去同存异。而消元的思想并不难想到，因为想要求解多元的方程组，自然就会想到，先求解一个元，再回代求解出其他的元，而如何求解一个元，就要用到消元的思想使等式只含有待求的主元这一个未知数方可求解。从根本上来说，还是遵循着数学的通过转化处理用已知解决未知的思想，即利用消元的处理用已知的一元一次方程来求解未知的多元的方程组。

我们以方程组

$\left\{\begin{matrix} x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2 \end{matrix}\right.$

为例来具体展示消元的思想与过程。

（1）写出系数矩阵A

根据未知元的系数可得系数矩阵A为：

$\begin{bmatrix} 1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1 \end{bmatrix}$

（2）确定主元一，进行第一轮消元

我们按照从上到下的顺序，首先把x当做主元一，所谓的消元就是利用第一行的等式提供的信息来简化第二行等式和第三行等式，具体来说就是第一行含有关于x的信息，我们通过第二行和第三行减去第一行的整数倍（因为方程的性质左右两边同乘方程仍成立），目的是消去x使第二行和第三行都只含有两个y和z两个未知元，这样就距离我们希望的一个未知元就进了一步。以上步骤习惯以选定主元这一行作为减数，其他行作为被减数，因此又被称为加减消元。

根据以上的描述，不难写出第一轮消元后的矩阵：

$\begin{bmatrix} 1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1 \end{bmatrix}$

值得关注的是，在上述计算过程中我们会发现第三行因为就不含x项了，因此是减去了0倍的第一行，可以一眼看出，但是对于MATLAB等程序而言，第三行减去0*第一行这一步是必不可少的。

而且我们在进行消元时由于矩阵发生了变化，因此从原矩阵到现矩阵不能用等号来连接，而是需要用箭头来连接。

上述矩阵变换我们的目的是使矩阵的（2,1）位置变为0，因此称这一步变换为（2,1）

（3）继续迭代，消元直到得出一元一次方程

因为只有三个未知元，下一步我们的目的是继续消去y，总共进行两轮消元，得到只含有z的一元一次方程。

因此我们第二轮把y作为主元二，进行第二轮消元，目的是使（3,2）位置上的y的系数变为0，即：

$\begin{bmatrix} 1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5 \end{bmatrix}$