向量的导数

向量的导数

向量的导数取决于你对向量的上下文和所涉及的变量维度。常见情况下，我们主要讨论以下两种情况：

1. 标量函数对向量的导数

如果一个标量函数 $f(\mathbf{x})$ 是关于向量 $\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\top }$ 的函数，其导数通常是梯度 $\nabla f(\mathbf{x})$，表示为一个向量：

$$\nabla f(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right].$$

例如：若 $f(\mathbf{x})=x_1^2+x_2^2$，则：

$$\nabla f(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_1\\ 2x_2\end{array}\right].$$

2. 向量函数对向量的导数

如果一个向量函数 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 是关于向量 $\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^{\top }$ 的函数，导数是一个 雅可比矩阵（Jacobian matrix）。设：

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(\mathbf{x})\\ f_2(\mathbf{x})\\ ⋮\\ f_m(\mathbf{x})\end{array}\right],$$

则雅可比矩阵是一个 $m\times n$ 的矩阵：

$$J=\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right].$$

例如：若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{x}_1^2\\ x_1{x}_2\\ e^{x_2}\end{array}\right]$，则：

$$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1}& \frac{\partial f_3}{\partial x_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x_1& 0\\ x_2& x_1\\ 0& e^{x_2}\end{array}\right].$$

3. 向量函数对标量的导数

如果 $\mathbf{x}(t)$ 是标量 $t$ 的函数（即 $\mathbf{x}$ 是一个随时间变化的向量），其导数是一个向量：

$$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\left[\begin{array}{c}\frac{d{x}_1}{dt}\\ \frac{d{x}_2}{dt}\\ ⋮\\ \frac{d{x}_n}{dt}\end{array}\right].$$

总结

• 标量对向量的导数 → 梯度（向量）。
• 向量对向量的导数 → 雅可比矩阵（矩阵）。
• 向量对标量的导数 → 向量。
  具体形式取决于你分析的场景和维度关系！