NOIP模拟 table 动态规划

题目描述

给定一个 n×m 的矩阵，行列均从 1 开始标号。

一个矩阵被认为是稳定的，当且仅当对于任意的 2≤i≤n，第 i 行的数的和不小于第 i−1 行的数的和，且最后一行的数的和小于等于 m ，并且要求矩阵中所有的元素都是非负的。

求所有 n×m 的稳定矩阵的方案数，答案对 109 取模。

输入格式

第一行一个整数 T ，表示数据组数。
每组数据一行两个整数 n，m 。

输出格式

输出 T 行，每行一个整数，表示方案数。

样例数据 1

输入　 [复制]

3
1 1
2 2
2 3

输出

2
25
273
备注
【数据规模与约定】
对于 30% 的数据，n,m≤3。
对于 60% 的数据，n,m≤50。
对于 100% 的数据，1≤n,m≤2000；1≤T≤10。

解题思路

建立两个动规数组，f[i][j]表示一行中前i个数和为j的方案数，dp[i][j]表示第i行和小于等于j的fang方案数，其中f[i][j]可以$O(n^2)$预处理（实际上等于$C_{i-1+j}^{i-1}$,相当于在i-1+j个1中取走i-1个1，是分开的i块（一块之和即为一个数）之和等于j），而一个询问复杂度为m*n，所以总复杂度为$O(n^2)$.

这里写代码片
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=2005,mod=1e9;
int T,n,m;
long long f[N][N],dp[N][N];

void pre()
{
    for(int i=1;i<=2001;i++)f[i][0]=1;
    for(int i=0;i<=2001;i++)f[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=2001;i++)
        for(int j=1;j<=2001;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i][j-1])%mod;
}

void solve()
{
    for(int i=0;i<=m;i++)dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=(long long)dp[i-1][j]*f[m][j]%mod;
            dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i][j])%mod;
        }
    cout<<dp[n][m]<<'\n';
}

int main()
{
    //freopen("table.in","r",stdin);
    pre();
    int T;
    T=getint();
    while(T--)
    {
        n=getint(),m=getint();
        solve();
    }
    return 0;
}