12、机器人运动规划与几何变换全解析

机器人运动规划与几何变换全解析

1. 机器人运动基础变换

在机器人运动规划中，基础的变换操作包括平移和旋转，这些操作是实现机器人在空间中灵活移动的关键。

1.1 平移变换

平移变换是指将机器人在空间中沿着某个方向移动一定的距离。假设机器人在二维平面 (W = R^2) 中，其原始模型可以用一个集合 (A) 来表示。当机器人在 (x) 方向平移 (x_t) 个单位，在 (y) 方向平移 (y_t) 个单位时，变换后的模型 (h(H_i)) 可以表示为：
(h(H_i) = {(x, y) \in W | f (x - x_t, y - y_t) \leq 0})

例如，若机器人是一个以原点为中心、半径为 1 的圆盘，其原始模型为 (H_i = {(x, y) \in R^2 | x^2 + y^2 - 1 \leq 0}) 。当进行平移后，变换后的模型为 (h(H_i) = {(x, y) \in W | (x - x_t)^2 + (y - y_t)^2 - 1 \leq 0}) ，这是一个以 ((x_t, y_t)) 为中心的圆盘方程。

平移后的机器人表示为 (A(x_t, y_t)) ，当平移量为 ((0, 0)) 时，相当于进行了恒等变换，即 (A(0, 0) = A) 。这里引入了自由度的概念，自由度指的是完全描述机器人变换所需的最大独立参数数量。如果 (x_t) 和 (y_t) 的取值范围构成了 (R^2) 的二维子集，那么机器人的平移自由度为 2。

对于刚体变换，有两种解释：一是世界坐标系固定，机器人进行变换；二是机器人固定，世界坐标系进行平移。在运动规划问题中，通常采用第一种解释，因为它更符合机器人在物理