21、工业机器人工作空间几何与运动学解析

工业机器人工作空间几何与运动学解析

1. 工作空间相关问题探讨

在工业机器人的研究与应用中，工作空间是一个关键概念。为了更好地理解和分析工业机器人的工作空间，我们可以从以下几个方面进行思考和实践。
- 绘制工作包络 ：可以使用绘图工具描绘多个工业机器人的工作包络。同时，编写计算机图形程序来确定定义工作包络的点的轨迹。之后，将得到的绘图结果与制造商的数据进行比较，并对发现的差异进行分析和评论。
- 研究应用与工作空间需求 ：深入研究工业机器人的多种应用场景，探讨不同应用所需的工作空间。这有助于在实际应用中为机器人选择合适的工作空间，提高工作效率和准确性。
- 计算工作区域和延伸范围 ：利用相关方程，为已知尺寸的给定机器人获取合适的工作区域和延伸范围的数值。
- 编写计算机程序 ：编写一个带有子程序的通用计算机程序，以获取上述问题中的数值。

2. 运动学方程

机器人末端执行器的位置和方向通常用向量 $\boldsymbol{p}$ 和 $(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{o}, \boldsymbol{a})$ 来表示，这些向量的分量是相对于机器人基座的固定笛卡尔坐标系给出的。
- 基本向量定义
- 接近向量 $\boldsymbol{a}$ ：是末端执行器通常接近物体的方向上的单位向量。
- 滑动向量 $\boldsymbol{o}$ ：位于两指夹爪的指尖到指尖的连线上。
- 法向量 $\boldsymbol{n}$ ：与 $\boldsymbol{o}$ 和 $\boldsymbol{a}$ 构成右手单位向量三元组，满足 $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{o} \times \boldsymbol{a}$。
- 其他坐标变量
- 圆柱坐标 ：在圆柱坐标 $(r, \theta, z)$ 中，末端执行器的位置为
- $p_x = r \cos \theta$
- $p_y = r \sin \theta$
- $p_z = z$
- 球坐标 ：在球坐标 $(R, \theta, \phi)$ 中，笛卡尔分量为
- $p_x = R \cos \theta \sin \phi$
- $p_y = R \sin \theta \sin \phi$
- $p_z = R \cos \phi$
- 方向变换
- 欧拉变换 ：定义为绕局部 $z$、$y$、$x$ 轴的旋转序列 $\phi$、$\theta$、$\psi$，即 $Euler(\phi, \theta, \psi) = Rot(z, \phi) * Rot(y, \theta) * Rot(z, \psi)$。展开后得到变换矩阵，末端执行器的方向向量 $[\boldsymbol{n} \boldsymbol{o} \boldsymbol{a}]$ 也可以用欧拉坐标表示。
- RPY 变换 ：常用于船舶和飞机的运动，旋转顺序为 $RPY(\varphi, \theta, \psi) = Rot(z, \varphi) * Rot(y, \theta) * Rot(x, \psi)$。由此得到 RPY 变换矩阵，以及末端执行器方向用 RPY 旋转表示的形式。

以下是一个简单的总结表格：
|坐标类型|位置表达式|
| ---- | ---- |
|圆柱坐标|$p_x = r \cos \theta$，$p_y = r \sin \theta$，$p_z = z$|
|球坐标|$p_x = R \cos \theta \sin \phi$，$p_y = R \sin \theta \sin \phi$，$p_z = R \cos \phi$|

3. 逆运动学

当已知机器人末端执行器的位置和方向，需要求解相应的关节坐标时，就会出现逆运动学问题。我们可以使用直接三角方法来确定逆运动学解。
- 三角方程求解 ：逆运动学解依赖于形如 $A \cos \theta + B \sin \theta = C$ 的三角方程的直接求解。
- 情况 1：$C = 0$ ：此时 $\tan \theta = -\frac{A}{B}$，则 $\theta = \tan^{-1}(-\frac{A}{B})$。
- 情况 2：$C \neq 0$ ：通过一系列变换得到 $\sin(\theta + \delta) = D$，其中 $D = \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，$\delta = \tan^{-1}(\frac{A}{B})$，进而得到 $\theta = \tan^{-1}(\frac{D}{\sqrt{1 - D^2}}) - \delta$。
- 不同连杆机器人的逆运动学解
- 两连杆机器人 ：根据其运动学方程，通过求解三角方程得到关节角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$。
- 三连杆机器人 ：同样依据运动学方程，逐步求解出关节角度 $\theta_1$、$\theta_2$ 和 $\theta_3$。

4. 微分运动学

简单机器人末端执行器的速度可以通过对运动学方程直接求导来确定。
- 两连杆机器人 ：对其运动学方程求导，得到速度分量 $\dot{p}_x$ 和 $\dot{p}_y$，可以写成雅可比形式 $\dot{\boldsymbol{p}} = \boldsymbol{J} \dot{\boldsymbol{\theta}}$，其中雅可比矩阵 $\boldsymbol{J}$ 包含了连杆长度和关节角度的信息。
- 三连杆机器人 ：对其运动学方程求导，得到最终的速度分量，用向量矩阵方程表示。

以下是两连杆机器人速度计算的流程图：

graph TD;
    A[运动学方程] --> B[求导];
    B --> C[得到速度分量];
    C --> D[写成雅可比形式];

5. 轨迹生成方案

在一般的机器人任务中，末端执行器需要按照操作者指定的方式从一个点移动到另一个点。在此过程中，机器人必须避免与障碍物碰撞，并且末端执行器可能需要跟踪指定的路径。
- 点到点运动
- 顺序关节控制（PTP - S） ：一次激活一个关节，其他轴固定。这种控制方式会使末端执行器的路径呈锯齿状，虽然简化了工业机器人的控制，但会导致较长的点到点运动时间。适用于高度模块化的可编程装配器。
- 非协调关节控制（PTP - U） ：各关节的运动不协调，一个关节完成部分运动并不意味着其他关节也完成了相应比例的运动。当每个关节到达最终位置时，会等待其他关节完成运动。由于关节间运动缺乏协调，末端执行器在两点之间的路径和速度不易预测。
- 末端协调关节控制（PTP - T） ：这是最有用的点到点控制类型。各个关节的运动是协调的，使得所有关节同时到达最终位置。主要用于只关注最终位置而路径不是主要考虑因素的应用中。
- 连续路径轨迹
- 基本伺服控制 ：不使用关于路径未来走向的信息，控制器根据过去和当前的路径跟踪误差来确定驱动信号。这是当今大多数工业机器人和过程控制系统中使用的控制设计。
- 预览控制 ：除了使用伺服控制器的过去和当前跟踪误差外，还使用机器人当前位置前方路径变化的一些知识。
- 轨迹计算 ：计算机控制器拥有机械手从一个点到另一个点应遵循的完整路径描述。使用手臂及其负载的数学模型，预先计算每个关节的加速度曲线，预测使手臂遵循期望路径的标称电机信号。这种方法已在一些先进的研究机器人中使用，以实现高速下的高精度协调运动。
- 笛卡尔运动轨迹
- 运动生成方式 ：在笛卡尔运动生成中，位置用笛卡尔坐标 $(x, y, z)$ 和机器人工具相对于固定在机器人基座上的参考系（世界坐标系）的方向角来表示。通过对操纵器工具尖端的笛卡尔位置应用插值函数，并将插值后的工具尖端位置快速转换为关节命令来生成运动。
- 应用场景与问题 ：笛卡尔运动在需要与移动传送带同步的全跟踪应用中很有用，但使用笛卡尔坐标定义位置有时可能会因计算复杂而不准确。在一些情况下，点到点运动和连续运动可以结合使用，点到点运动将机器人手移动到所需位置，然后连续路径完成复杂零件的装配等精确运动。
- 受控轨迹系统
- 控制优势 ：该控制模式提供了机器人终端设备沿编程点之间期望路径的位置、速度和加速度控制。在教学周期中，还能对机器人关节进行协调控制，只需对期望路径的端点进行编程，计算机就能在自动模式下生成具有所需速度和加速度的受控路径。
- 应用效果 ：在教学具有受控路径能力的机器人时，常用笛卡尔坐标，一些机器人也使用圆柱坐标系。使用编程点之间的直线路径，机器人手可以平稳地加速和减速，避免离心力的作用，这对于搬运重型零件尤为重要。通过控制零件的加速度和减速度，可以使用更高的速度，缩短循环时间，减少 jerky 运动，提高机器人的使用寿命。在实现全跟踪时，通过对传送带或零件位置的连续实时测量，对生成的路径进行零偏移调整，使机器人操作不受传送带运动的影响。

工业机器人工作空间几何与运动学解析

6. 不同运动模式对比分析

为了更清晰地了解各种运动模式的特点和适用场景，我们对前面提到的点到点运动、连续路径轨迹、笛卡尔运动轨迹和受控轨迹系统进行对比分析，具体内容如下表所示：
|运动模式|控制特点|优点|缺点|适用场景|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|顺序关节控制（PTP - S）|一次激活一个关节，其他轴固定|简化工业机器人控制|点到点运动时间长|高度模块化的可编程装配器|
|非协调关节控制（PTP - U）|各关节运动不协调|无明显优点|末端执行器路径和速度不易预测|对路径和速度要求不高的场景|
|末端协调关节控制（PTP - T）|各关节运动协调，同时到达最终位置|适用于只关注最终位置的应用|无明显缺点|只关注最终位置，路径非主要考虑因素的应用|
|基本伺服控制|不使用路径未来信息，根据过去和当前跟踪误差确定驱动信号|广泛应用，技术成熟|缺乏对未来路径的预判|大多数工业机器人和过程控制系统|
|预览控制|使用当前位置前方路径变化知识及过去和当前跟踪误差|能提前应对路径变化|需要额外的路径信息|对路径变化有一定要求的场景|
|轨迹计算|拥有完整路径描述，预先计算关节加速度曲线|实现高速高精度协调运动|计算复杂，需要强大的计算能力|先进研究机器人|
|笛卡尔运动轨迹|用笛卡尔坐标和方向角表示位置，通过插值和转换生成运动|适用于全跟踪应用|计算复杂，可能导致位置定义不准确|需要与移动传送带同步的全跟踪应用|
|受控轨迹系统|提供位置、速度和加速度控制，协调关节运动|平稳加速和减速，提高机器人使用寿命|需要连续实时测量|搬运重型零件、复杂零件装配等|

7. 机器人运动控制的关键要点总结

机器人的运动控制涉及多个方面，以下是一些关键要点的总结：
- 运动学基础 ：理解机器人末端执行器的位置和方向表示方法，掌握不同坐标系统（如圆柱坐标、球坐标）和方向变换（如欧拉变换、RPY 变换）的原理，这是进行后续运动控制的基础。
- 逆运动学求解 ：当已知末端执行器的位置和方向时，能够通过直接三角方法求解相应的关节坐标。在求解过程中，要注意不同情况下三角方程的解法。
- 微分运动学应用 ：通过对运动学方程直接求导来确定末端执行器的速度，利用雅可比矩阵描述速度与关节角速度之间的关系，这对于机器人的速度控制至关重要。
- 轨迹生成选择 ：根据具体的应用需求，选择合适的轨迹生成方案。点到点运动适用于只关注最终位置的场景，连续路径轨迹适用于对路径有要求的应用，笛卡尔运动轨迹适用于全跟踪应用，受控轨迹系统则在搬运重型零件和复杂零件装配等方面具有优势。

以下是机器人运动控制关键要点的流程图：

graph TD;
    A[运动学基础] --> B[逆运动学求解];
    A --> C[微分运动学应用];
    B --> D[轨迹生成选择];
    C --> D;

8. 实际应用中的注意事项

在实际应用机器人进行运动控制时，还需要注意以下几点：
- 碰撞检测 ：无论是点到点运动还是连续路径轨迹，机器人都必须避免与障碍物碰撞。可以通过安装传感器等方式实时监测周围环境，提前规划路径以避开障碍物。
- 精度控制 ：在一些对精度要求较高的应用中，如复杂零件装配，要注意控制机器人的运动精度。可以通过优化运动学模型、提高传感器精度等方式来实现。
- 系统稳定性 ：确保机器人控制系统的稳定性，避免出现抖动、振荡等问题。可以通过合理选择控制参数、优化控制算法等方式来提高系统的稳定性。
- 实时性要求 ：对于一些需要实时响应的应用，如与移动传送带同步的全跟踪应用，要保证控制系统具有足够的实时性，能够及时处理传感器数据并调整机器人的运动。

9. 未来发展趋势展望

随着科技的不断发展，机器人运动控制领域也将迎来新的发展趋势：
- 智能化 ：机器人将具备更强的自主学习和决策能力，能够根据环境变化自动调整运动策略，实现更加智能化的运动控制。
- 协作化 ：机器人将更多地与人类进行协作，共同完成任务。这就要求机器人能够更好地感知人类的意图，实现更加安全、高效的协作运动。
- 集成化 ：机器人运动控制系统将与其他系统（如视觉系统、力觉系统等）进行更加紧密的集成，实现更加复杂的任务。例如，通过视觉系统获取目标物体的位置信息，机器人能够更准确地进行抓取和操作。
- 高速高精度 ：对机器人运动的速度和精度要求将不断提高，需要开发更加先进的控制算法和硬件设备来满足这些需求。

以下是机器人运动控制未来发展趋势的列表：
1. 智能化
2. 协作化
3. 集成化
4. 高速高精度

通过对机器人工作空间几何和运动学的深入研究，我们可以更好地理解机器人的运动原理和控制方法，为实际应用提供有力的支持。同时，关注未来发展趋势，不断探索新的技术和方法，将有助于推动机器人技术的不断进步。