2、对称双矩阵博弈的可近似性及相关实验

对称双矩阵博弈的可近似性及相关实验

1. 二次规划与KKT点

在带有线性约束的二次规划问题中，存在一个著名的性质：$kkt(QP) = sta(QP)$。这一性质在双矩阵博弈的纳什均衡（NE）点研究中十分有趣，因为它确保了Tsaknakis和Spirakis提出的下降法所针对的驻点，实际上就是我们即将提出的对称博弈二次规划公式（或Mangasarian和Stone提出的一般博弈公式）的KKT点。

2. 通过精确KKT点近似NE点

2.1 关键观察

• 任何对称双矩阵博弈$\langle A, B\rangle = \langle S, S^T\rangle$至少有一个对称纳什均衡（SNE）点。
• 对于对称策略组合，不仅两个玩家的收益相同，而且他们面对对手的收益向量也相同，即两个玩家在对称策略组合下的后悔值相同。对于任意$S \in [0, 1]^{n\times n}$和$z \in \Delta^n$，有：
  • 共同收益：$z^T Bz = z^T S^T z = z^T Sz = z^T Az$
  • 共同收益向量：$Az = Sz = (S^T)^T z = B^T z$

2.2 二次规划问题（SMS）

我们使用的二次规划问题是对Mangasarian和Stone的程序的改编：
- 目标函数：
- 最小化$f(s, z) = s - z^T Sz = s - \frac{1}{2}z^T Qz$
- 约束条件：
- $-1s + Sz \le