3、对称双矩阵博弈的可近似性及相关实验

对称双矩阵博弈的可近似性及相关实验

1. 对称双矩阵博弈的处理

在对称双矩阵博弈中，会对矩阵元素进行特定变换。将每个 (1,1) 元素独立地转换为 (0, 1) 或 (1, 0) 元素。具体操作如下：
- 把矩阵 R 中“全 1”行的一个随机元素切换为 0。
- 若不产生新的 (1, 1) 元素，将矩阵 R 中“全 0”行的第一个随机元素切换为 1。
- 对矩阵 C 的列进行类似处理。

2. 近似 NE 点的求解方法

2.1 KKT 松弛法

该方法依据理论部分，将 (SMS) 的任意 KKT 点作为对称双矩阵博弈 ⟨R, RT ⟩ 的近似 NE 点。具体步骤如下：
1. 检查当前 (SMS) 实例的凸性。
2. 若为凸问题，使用 SeDuMi 求解器通过 CVX 环境求解。
3. 若为非凸问题，调用 Matlab 的 quadprog 函数。
4. 若 quadprog 函数达到或收敛到局部最优解，则将其作为近似 NE 点；否则，报告方法失败，不将该博弈计入最坏情况实例的统计中。

2.2 RLT 松弛法

RLT 方法用于生成离散组合优化或连续（非凸）多项式规划问题的紧密线性规划松弛。对于含 n 个二进制变量的混合 0 - 1 线性规划 (MILP)，RLT 生成 n 级层次结构，在第 n 级提供可行解凸包的明确代数表征。具体步骤如下：
1. 重构步骤 ：对于有边界约束 ℓj ≤ xj ≤ uj 的变量 xj，(xj - ℓj) 和 (uj - xj) 为边界因子；对于线性约束 aT x ≥ b