20、混合纳什均衡与PPAD完全性：计算复杂性的探索

混合纳什均衡与PPAD完全性：计算复杂性的探索

1. 双矩阵博弈中混合纳什均衡的计算问题

双矩阵博弈是一种非零和的两人博弈，由两个 $m×n$ 的收益矩阵 $A$ 和 $B$ 来定义，分别对应行玩家和列玩家。在零和博弈中，$B = -A$。我们关注的是计算双矩阵博弈的混合纳什均衡（MNE），即寻找行和列上的混合策略 $\hat{x}$ 和 $\hat{y}$，使得对于所有行混合策略 $x$ 满足 $\hat{x}^⊤A\hat{y} \geq x^⊤A\hat{y}$，对于所有列混合策略 $y$ 满足 $\hat{x}^⊤B\hat{y} \geq \hat{x}^⊤By$。

尽管许多专家付出了巨大努力，但目前还没有已知的多项式时间算法来计算双矩阵博弈的MNE。为了论证这个问题可能本质上是难以处理的，我们需要发展适当的复杂性理论，目标是证明该问题对于某个合适的复杂性类是完全的。

2. 总NP搜索问题（TFNP）

2.1 NP搜索问题（FNP）

NP问题由一个多项式时间验证器定义，用于验证给定实例的所谓解决方案，验证器接受的输入称为该实例的见证。传统上，NP问题被定义为决策问题，实例的正确答案是“是”或“否”，取决于实例是否至少有一个见证。

而均衡计算问题不是决策问题，其输出应该是一个真正的均衡。为了解决这个类型检查错误，我们使用复杂性类FNP，即“功能性NP”。FNP问题与NP问题类似，但对于“是”实例，必须产生一个见证，也称为搜索问题。

FNP问题的算法将NP问题的实例作为输入，其责任是输出该实例的见证，如果存在的话；如果实例没有见证，则输出“否”。FP表示FNP问题中可以通过多项式时间算法解决的子类。 <