48、资源共享博弈中均衡的重交通近似

资源共享博弈中均衡的重交通近似

1. 资源共享博弈概述

在资源共享博弈中，我们考虑一个排队游戏，其中 $K$ 类作业共享一个单位容量的单服务器。每类作业的相关信息如下：
- 第 $i$ 类（$i = 1, \cdots, K$）作业按照泊松过程到达，到达率为 $\lambda_i$。
- 作业的服务需求独立同分布，服从指数分布，平均服务时间为 $1/\mu_i$，为简化起见，假设所有类别的 $\mu_i = \mu$。
- 系统的总到达率为 $\lambda = \sum_{k} \lambda_k$，第 $i$ 类的负载为 $\rho_i = \lambda_i / \mu$，系统负载为 $\rho = \sum_{k} \rho_k = \sum_{k} \lambda_k / \mu$，为保证系统稳定，假设 $\rho < 1$。
- 第 $i$ 类用户在系统中等待和接受服务会产生单位时间成本 $c_i$，不妨设 $c_1 > c_2 > \cdots > c_K$。

服务器按照歧视性处理器共享（DPS）策略分配容量，每个作业关联一个优先级。若系统中有 $N$ 个作业，作业 $\ell$ 选择优先级 $\beta_{\ell}$，则作业 $k$ 分配到的服务容量比例为 $\beta_{\ell} / \sum_{m = 1}^{N} \beta_m$。

作业到达时，在不观察系统状态的情况下选择优先级 $\beta$，且 $\beta \geq \underline{\beta}$，$\underline{\beta} > 0$ 是系统要求的最小优先级。我们考虑一类称为 $\alpha$-公平定价规则的优先