线性代数 第五章——相似矩阵与二次型

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一、向量的内积与正交性

1、向量的内积

（1）定义：

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（2）性质：

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2、向量的长度

（1）定义：

​

（2）单位向量与单位化：

​

3、向量的正交

​

4、施密特正交法

        一个线性无关的向量组不一定能作为一个规范正交基，但能使用施密特正交法将其转化为一个规范正交基（前提是向量组中所含的向量数等于向量维数），或者转化为互相正交的向量组，以下即为施密特正交法的操作步骤

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5、正交矩阵

（1）定义：

​

（2）性质：

​

6、例题

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二、方阵的特征值与特征向量

1、特征值与特征向量的定义

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2、特征值与特征向量的求法

（1）求解步骤：

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（2）求解步骤说明：

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（3）特例：

​

3、特征值与特征向量的性质

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4、例题

三、相似矩阵与对角化

1、相似矩阵的定义

2、相似矩阵的性质

3、方阵的对角化

（1）可对角化的定义：

（2）方阵可对角化的两个充要条件（满足一个充要条件即可，或者说两个充要条件和方阵可对角化互为充要条件）：

①一个充要条件：

②另一个充要条件：

（3）方阵可对角化的充分条件：

4、例题

四、对称矩阵的对角化

1、对称矩阵的特征值与特征向量

2、对称矩阵对角化的步骤

3、例题

五、二次型及标准形

1、二次型的定义及矩阵表示

（1）二次型的定义：

（2）二次型的矩阵表示：

2、二次型的标准形

（1）二次型的标准形的定义：

（2）规范形：

        在二次型的标准形中，若平方项的系数只有1、－1和0，则称此标准形为规范形

        标准形与其对应的规范形的正/负惯性指数相同，其对应的规范形可由换元法求出，即通过换元将标准形中每一项的非零系数转换为1或－1

3、化二次型为标准形

（1）可逆变换与正交变换：

（2）合同矩阵：

（3）化二次型为标准形的两种方法：

①正交变换法：

②配方法：

（4）二次型的标准形不唯一，但规范形唯一。

4、例题

六、正定二次型

1、正定二次型的定义

2、正定二次型的判别

3、例题