现代复习——第5章相似矩阵及二次型

本文深入探讨了向量的内积、长度与正交性,详细解析了施瓦兹不等式、范数概念及其性质,并介绍了标准正交基与施密特正交化的应用。此外,还讲解了方阵的特征值与特征向量的相关理论。

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&1向量的内积,长度,及正交性

x=(x1x2⋮xn) x= \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right) x=x1x2xn
y=(y1y2⋮yn) y= \left( \begin{matrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{matrix} \right) y=y1y2yn
[x,y]=x1y1+x2y2+⋯+xnyn[x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n[x,y]=x1y1+x2y2++xnyn 称之为向量x,y的内积
内积具有一下性质
$$
1.[x,y]=[y,x]\
2.[\lambda x,y]=\lambda[x,y]\
3.[x+y,z]=[x,z]+[y+z]
$
施瓦兹不等式[x,y]2⩽[x,x][y,y][x,y]^2 \leqslant [x,x][y ,y][x,y]2[x,x][y,y]
范数
∥x∥=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2\left \|x \right \|= \sqrt {[x,x]}=\sqrt {x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}x=[x,x]=x12+x22++xn2
∥x∥\left \|x \right \|x称为n维向量x的长度
向量的长度有以下性质

  1. 非负性 当x≠0时,||x||>0时,||x||>0,当x=0时,||x||=0
  2. 齐次性 ||λx||=|λ| ||x||
    定义:当x≠0&&≠0时,θ=arccos[x,y]∥x∥∥y∥\frac{[x,y]}{\|x\|\|y\|}xy[x,y]
    定理1:诺n维向量是a1…ar是一组两两正交的非零向量,则a1…ar线性无关
    标准正交基:设n维向量e1…er是向量空间V的一个基,如果e1…er两两相交,且都是单位向量,则e1…er是V的一个标准基
    设a1…ar是向量空间v的一个基,要求V的一个标准基,也就是找一组两两相交的单位向量,e1…er使得e1…er与a1…ar等价,这个问题称之为及a1…ar的标准正交化.
    可以用下面的方法正交化
    b=a1br=ar−[b1,ar][b1,b1b1−⋯−[br−1,ar][br,br]er=b1∥br∥ b_=a_1\\ b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1}b_1-\cdots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_r,b_r]}\\ e_r=\frac {b1}{\|br\|} b=a1br=ar[b1,b1[b1,ar]b1[br,br][br1,ar]er=brb1
    上述从无关向量组a1…ar到处正向向量组b1,b2的过程称为施密特正交化,(对任何b1…bk,[1≤k≤r]),向量组皆等价
    正角阵:ATA=E(即A-1=AT),则称A为正交矩阵
    方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位矩阵,且两两正交
    A为正交矩阵,A-1=AT也是正交矩阵,且|A|=-1或(-1)
    A和B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵
    定义5:诺P为正交矩阵,则线性变换y=Px称之为正交变换

&2方阵的特征值与特正向量

定义6:设A是n皆方阵,如果数λ鱼n维非零向量x让关系式满足:Ax=λx,则称数λ是矩阵A的特征值,非零向量x称为A对应与特征值λ的特征向量
也可以写成(A-λE)x=0即矩阵A的特征方程,记作λ,f(λ)称之为矩阵A的特征多项式,A是特征多项式的解
λ2是A2的特征值
当A可逆时,1λ是A−1\frac{1}{\lambda}是A^{-1}λ1A1的特征值
A*=|A|A-1,|A|=λ1…λn
定理2设λ1…λn是方阵A的m个特征值,p1 …pn是与之对应的特征向量,如果λ1…λn各不相等,则p1 …pn线性无关

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