【BZOJ2318】【spoj4060】game with probability Problem 概率DP

最新推荐文章于 2020-02-16 18:40:14 发布

空灰冰魂

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分类专栏：概率DP 文章标签： BZOJ2318 spoj4060 game 概率DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Vmurder/article/details/46467899

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本文介绍了一种基于概率的博弈论算法，用于计算石头游戏中玩家A先手或后手时的获胜概率。通过递推公式计算不同剩余石头数量下的获胜概率，并考虑玩家的选择意愿，最终给出一个高效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：

#include <stdio.h>
int main()
{
    puts("转载请注明出处[辗转山河弋流歌 by 空灰冰魂]谢谢");
    puts("网址：blog.youkuaiyun.com/vmurder/article/details/46467899");
}

题解：

$f_i$ 表示剩 $i$ 个石头、 $A$ 先手的获胜概率。
$g_i$ 表示剩 $i$ 个石头、 $A$ 后手的获胜概率。

如果想选，对于 $f_i$ ：
有 $p$ 的概率进入 $g_{i-1}$ ；有 $1-p$ 的概率进入 $g_i$
所以 $f_i=p*g_{i-1}+(1-p)*g_i$

如果想选，对于 $g(i)$ ：
有 $q$ 的概率进入 $f_{i-1}$ ；有 $1-q$ 的概率进入 $f_i$
所以 $g_i=q*f_{i-1}+(1-q)*f_i$

整理得：

$f_i=\frac{p*g_{i-1}+(1-p)*q*f_{i-1}}{1-(1-p)*(1-q)}$

$g_i=\frac{q*f_{i-1}+(1-q)*p*g_{i-1}}{1-(1-p)*(1-q)}$

然后剩 $i$ 个石头时A的想不想选的意愿与 $f_{i-1}、g_{i-1}$ 的大小关系有关。
$f_{i-1}>g_{i-1}$ 都不想选。
$f_{i-1}<g_{i-1}$ 都想选。
然后对于不想选的情况，那么 $p=1-p，q=1-q$ 就行了。

然而这样就没法用矩阵乘法了。。。
就需要黑科技，，当n很大时，其实概率已经基本不动了，，让n=min(n,1000)就好了Qwq。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 1010
using namespace std;
double f[N],g[N],p,q;

int main()
{
    int i,T,n;
    for(scanf("%d",&T);T--;)
    {
        scanf("%d",&n),n=min(n,1000);
        scanf("%lf%lf",&p,&q);
        f[0]=0,g[0]=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(f[i-1]>g[i-1])p=1-p,q=1-q;
            f[i]=(p*g[i-1]+(1-p)*q*f[i-1])/(1-(1-p)*(1-q));
            g[i]=(q*f[i-1]+(1-q)*p*g[i-1])/(1-(1-p)*(1-q));
            if(f[i-1]>g[i-1])p=1-p,q=1-q;
        }
        printf("%.6lf\n",f[n]);
    }
    return 0;
}