斜率优化bzoj 1597

题目链接：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1597

看到题目，时间复杂度至少是$O(NlogN)$或$O(Nsqrt(N))$
前者的概率较大，此题有计算内乘积，应该与分块无关（早就知道是斜率优化）

假设长为$a$值，宽为$b$值
观察题目， 可以猜想一下决策会不会有连续性，猜想决策可能与排序有关，先按长 ($a$) 排序。在思考一会，就会发现该猜想是对的，因为每个总方案中，如果存在一组土地$a$值不连续，那该方案一定不是唯一的最优解。

证明：假设存在一个方案使得将土地按$a$值升序排列后存在$i,j,k$使得$a_i<a_j<a_k$且$i,k$分在一组中，而$j$在另一组中。若$b_j<b_i$，则将$i,j,k$分在一组肯定会更优，因为其他不变，把$j$移动到$i,k$这一组，$j$原来的那组值会更小，而$i,j,k$这一组不会变，因为$j$的长和宽在这一组中均不为最大值。同理，可证明另一种情况。（有兴趣可以自行证明）

这样，我们就可以先按$a$值排序。又因为如果某一块土地$b$值比任何一块在它右边的土地小，那么一个最优解一定是将这块土地与那块土地合并，因为这样不会产生任何影响，就可以去除满足这个条件的土地

在这一步后，整个数组也就是$a$值递增，$b$值递减，那么简单看一下就知道可以dp了
设$f[i]$为前$i$块土地的最小花费
方程就是$f[i]=f[j]+b[j+1]\ast a[i]$
看到乘积，自然想到斜率优化，$p_i(-b[j+1],f[i])，k_i=a[i]$
就可以愉快的斜率优化了，时间复杂度$O(N)$

$Code:$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=50000;
struct w{
	int a,b;
}a[MAXN+10],b[MAXN+10];
struct po{
	int x,y;
}s[MAXN+10];
int f[MAXN+10],q[MAXN+10],fr,ed;
inline bool cmp(const w&,const w&);
inline bool cmp_slope(po,po,int);
inline bool cmp_slope2(po,po,po);
inline int read();

signed main(){
	freopen ("1597.in","r",stdin);
	freopen ("1597.out","w",stdout);
	int n=read();
	for (register int i=1;i<=n;++i){
		a[i].a=read();
		a[i].b=read();
	}
	stable_sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for (register int i=n;i>=1;--i){
		if (a[i].b > a[q[fr]].b)	q[++fr]=i;	
	}
	n=fr;	fr=0;
	for (register int i=1;i<=n;++i)	b[i]=a[q[n-i+1]];
	for (register int i=1;i<=n;++i)	a[i]=b[i];
	s[0].y=0;	s[0].x=-a[1].b;
	for (register int i=1;i<=n;++i){
		int k=a[i].a;
		while (fr>ed && cmp_slope(s[q[ed]],s[q[ed+1]],k))	++ed;
		f[i]=f[q[ed]]-s[q[ed]].x*a[i].a;
		s[i].y=f[i];	s[i].x=-a[i+1].b;
		while (fr>ed && cmp_slope2(s[q[fr-1]],s[q[fr]],s[i]))	--fr;
		q[++fr]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}

inline int read(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c))c=getchar();
	while (isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();
	return x;
}

inline bool cmp(const w &x,const w &y){
	return x.a<y.a;
}

inline bool cmp_slope(po x,po y,int k){
	return ((double)(y.y-x.y))/((double)(y.x-x.x)) <= (double)k;
}

inline bool cmp_slope2(po x,po y,po z){
	return ((double)(y.y-x.y))/((double)(y.x-x.x)) >= ((double)(z.y-y.y))/((double)(z.x-y.x));	
}