BZOJ 2149 拆迁队 斜率优化DP 主席树

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2149

题目大意：
一个长度为$n$的序列$a$，改变其中的某些数使之成为一个单调递增序列，改变第$i$个数需要花费$b[i]$
求最多不改变的数的数量以及在这一条件下序列的总和$+$花费的最小值

题解：
首先可以令$d[i]=a[i]-i$，这样可以将单调递增转化为单调不下降更方便处理
设$f[i]$表示到第$i$个数且不改变第$i$个数时最多不改变多少个数
那么$f[i]=max\{f[j]\}+1(d[j] \le d[i])$
设个$g[i]$表示到第$i$个数且不改变第$i$个数时序列总和$+$花费的最小值
那么$g[i]=min\{g[j]+d[j]*(i-1-j)+\frac{(j+i)*(i-1-j)}{2}\}+a[i](d[j] \le d[i]，f[j]+1=f[i])$
整理一下发现可以斜率优化DP
$x=-d[i]$
$y=g[i]-a[i]*(i+1)+\frac{i*(i+1)}{2}$
$k=i$
用一个主席树维护凸包，每次将一个点插到对应的节点中，更新时查询对应的区域

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
typedef long long ll;
int n;
int a[MAXN];
int b[MAXN];
ll c[MAXN];
int d[MAXN];
int e[MAXN];
int f[MAXN];
ll g[MAXN];
int cnt;
struct Point
{
    ll x,y;
    Point(ll _x=0,ll _y=0):x(_x),y(_y){}
    friend ll operator*(const Point &a,const Point &b)
        {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
};
vector<int>tr[MAXN*32];
int ls[MAXN*32],rs[MAXN*32];
int root[MAXN],tot;
void Update(int pos,int val,int l,int r,int &rt)
{
    if(!rt) rt=++tot;
    while(tr[rt].size()>1&&Point(-d[tr[rt][tr[rt].size()-1]]+d[tr[rt][tr[rt].size()-2]],c[tr[rt][tr[rt].size()-1]]-c[tr[rt][tr[rt].size()-2]])*Point(-d[val]+d[tr[rt][tr[rt].size()-1]],c[val]-c[tr[rt][tr[rt].size()-1]])<=0)tr[rt].pop_back();
    tr[rt].push_back(val);
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid) Update(pos,val,l,mid,ls[rt]);
    else Update(pos,val,mid+1,r,rs[rt]);
}
int Query(int R,int val,int l,int r,int rt)
{
    if(!rt) return -1;
    if(r<=R)
    {
        if(!tr[rt].size()) return -1;
        int ll=0,rr=tr[rt].size()-1;
        while(rr-ll>2)
        {
            int lmid=(ll+ll+rr)/3;
            int rmid=(ll+rr+rr)/3;
            if(c[tr[rt][lmid]]+1ll*val*d[tr[rt][lmid]]>c[tr[rt][rmid]]+1ll*val*d[tr[rt][rmid]]) ll=lmid;
            else rr=rmid;
        }
        int re=ll;
        for(int i=ll+1;i<=rr;i++)
            if(c[tr[rt][i]]+1ll*val*d[tr[rt][i]]<c[tr[rt][re]]+1ll*val*d[tr[rt][re]])
                re=i;
        return tr[rt][re];
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(R<=mid) return Query(R,val,l,mid,ls[rt]);
    int re1=Query(R,val,l,mid,ls[rt]);
    int re2=Query(R,val,mid+1,r,rs[rt]);
    if(re1==-1) return re2;
    if(re2==-1) return re1;
    if(c[re1]+1ll*val*d[re1]<c[re2]+1ll*val*d[re2])
        return re1;
    else return re2;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",b+i);
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=a[i]-i;
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(d[i]<0){f[i]=-1;continue;}
        if(!cnt||e[cnt]<=d[i]) e[f[i]=++cnt]=d[i];
        else e[f[i]=upper_bound(e+1,e+1+cnt,d[i])-e]=d[i];
    }
    d[0]=0;g[0]=0;c[0]=0;Update(d[0],0,0,1000000000,root[f[0]]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(f[i]==-1){g[i]=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;continue;}
        int tmp=Query(d[i],i,0,1000000000,root[f[i]-1]);
        g[i]=c[tmp]+1ll*i*d[tmp]+1ll*i*(i-1)/2+a[i]+b[i];
        c[i]=g[i]-1ll*a[i]*(i+1)+1ll*i*(i+1)/2;
        Update(d[i],i,0,1000000000,root[f[i]]);
    }
    ll ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[i]==cnt)
            ans=min(ans,g[i]+1ll*d[i]*(n-i)+1ll*(i+1+n)*(n-i)/2);
    printf("%d %lld\n",cnt,ans);
    return 0;
}