【数学 组合计数】BZOJ_4403 序列统计

本文探讨了在特定范围内,统计长度在1到N之间,元素大小在L到R之间的单调不降序列的数量的方法。通过将问题转化为求解单调上升序列的数量,利用组合数学原理,给出了一种高效的算法解决方案。

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题意

给定三个正整数N、LN、LNLRRR,统计长度在111NNN之间,元素大小都在LLLRRR之间的单调不降序列的数量。输出答案对106+310^6+3106+3取模的结果。

思路

考虑长度为nnn,取值在[1..m][1..m][1..m]间的单调不降序列数量。
对于序列第iii个数,加上i−1i-1i1,可以转化成求单调上升序列的数量,就是取值为[1..m+n−1][1..m+n-1][1..m+n1]的单调上升数量。
而这个方案数就为(nm+n−1)\binom{n}{m+n-1}(m+n1n)

所以统计长度1∼N1\sim N1N的答案就为∑i=1n(im+i−1)\sum_{i=1}^{n}\binom{i}{m+i-1}i=1n(m+i1i),化简后得(mn+m)−1\binom{m}{n+m}-1(n+mm)1
取值在[l..r][l..r][l..r]间,让每个选择的数减去l−1l-1l1,就是[1..r−l+1][1..r-l+1][1..rl+1]间。
具体:
在这里插入图片描述

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

const int p = 1e6 + 3;

int n, m;
long long fra[p + 3];

int power(int a, int b) {
	long long res = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = (long long)a * a % p;
	}
	return res;
}

long long C(long long n, long long m) {
	if (n < m) return 0;
	return fra[n] * power(fra[m], p - 2) % p * power(fra[n - m], p - 2) % p; 
}

long long lucas(long long n, long long m) {
	if (!m) return 1;
	return C(n % p, m % p) * lucas(n / p, m / p) % p;
}

int main() {
	int t, l, r;
	scanf("%d", &t);
	fra[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= p; i++)
		fra[i] = fra[i - 1] * i % p;
	while (t--) {
		scanf("%d %d %d", &n, &l, &r);
		m = r - l + 1;
		printf("%lld\n", ((lucas(n + m, m) - 1) % p + p) % p);
	}
}
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