【数论】SSL_1194 春思

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本文深入解析了一个数学问题，即求解ABA^BAB的约数总和模9901。通过算数基本定理和等差数列公式，文章详细阐述了如何高效计算这一复杂表达式的约数总和，并提供了完整的C++代码实现。

题意

求 $A^B$ 的约数总和模9901。

思路

根据算数基本定理，我们可以知道一个数的约数总和为：
$1+p_1+p_{1}^{2}+...+p_{1}^{c_1})*...*(1+p_m+p_{m}^{2}+...+p_{m}^{c_m})$
可以发现这些式子是等差数列，我们可以用等差数列公式来求，然后发现 $9901$ 是个质数，然后我们就可以乘上分母的逆元。
如果分母是 $9901$ 的倍数，那么逆元不存在，我们可以发现这个时候 $p%9901=1p\%9901=1$ 那么答案就为 $B * c + 1$ 。

代码

#include<cstdio>
#define mod 9901

long long A, B;
long long p[21], c[21];
long long ans = 1, len;

void divide(long long n) {
	for (long long i = 2; i * i <= n; i++) {
		if (n % i == 0) {
			p[++len] = i;
			while (n % i == 0) c[len]++, n /= i;
		}
	}
	if (n > 1) p[++len] = n, c[len]++;
}

long long ksm(long long a, long long b) {
	long long result = 1;
	a %= mod;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) result = (long long)result * a % mod;
		a = (long long)a * a % mod;
	}
	return result;
}

int main() {
	scanf("%lld %lld", &A, &B);
	divide(A);
	for (long long i = 1; i <= len; i++) {	
		if ((p[i] - 1) % mod == 0) {//没有逆元
			ans = ((long long)B * c[i] + 1) % mod * ans % mod;
			continue;
		}
		long long x = (ksm(p[i], (long long)B * c[i] + 1) - 1 + mod) % mod;//分子
		long long y = ksm(p[i] - 1, mod - 2);//逆元
		ans = (long long)ans * x % mod * y % mod;
	}
	printf("%d", ans);
}