数论——欧拉函数

欧拉函数（Euler’s Totient Function），记作 (\phi(n))，表示小于或等于 (n) 的正整数中与 (n) 互质的数的个数。它在数论中有重要应用，例如 RSA 加密算法。以下是欧拉函数的定义、性质、计算方法及实现代码：

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一、欧拉函数的定义

对于正整数 (n)，欧拉函数 (\phi(n)) 定义为：
[
\phi(n) = \text{小于或等于 } n \text{ 且与 } n \text{ 互质的正整数的个数}
]
其中，互质指的是两个数的最大公约数（GCD）为 1。

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二、欧拉函数的性质

1. 积性函数
   • 如果 (a) 和 (b) 互质（即 (\gcd(a, b) = 1)），则：
     [
     \phi(ab) = \phi(a) \cdot \phi(b)
     ]
2. 质数的欧拉函数
   • 如果 § 是质数，则：
     [
     \phi§ = p - 1
     ]
3. 质数幂的欧拉函数
   • 如果 (p) 是质数，(k \geq 1)，则：
     [
     \phi(p^k) = p^k - p^{k-1}
     ]
4. 一般公式
   • 对于任意正整数 (n)，若其质因数分解为：
     [
     n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}
     ]
     则欧拉函数为：
     [
     \phi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_m}\right)
     ]

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三、欧拉函数的计算方法

1. 直接计算法

• 遍历从 1 到 (n) 的所有数，检查每个数是否与 (n) 互质。
• 时间复杂度：(O(n \log n))（因为每次需要计算 GCD）。

2. 质因数分解法

• 对 (n) 进行质因数分解，然后利用欧拉函数的一般公式计算。
• 时间复杂度：取决于质因数分解的效率。

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四、实现代码

CPP代码

以下是使用 C++ 实现的欧拉函数代码，包括 直接计算法 和 质因数分解法，并附上详细注释和示例输出。

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C++ 实现代码

1. 直接计算法

#include <iostream>
#include <algorithm> // 用于 __gcd 函数
using namespace std;

// 直接计算法
int eulerPhiNaive(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (__gcd(i, n) == 1) { // 如果 i 和 n 互质
            count++;
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    int n = 10;
    cout << "Euler's Totient Function (Naive) for n = " << n << ": " << eulerPhiNaive(n) << endl;
    return 0;
}

输出：

Euler's Totient Function (Naive) for n = 10: 4

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2. 质因数分解法

#include <iostream>
using namespace std;

// 质因数分解法
int eulerPhi(int n) {
    int result = n; // 初始化结果为 n
    for (int p = 2; p * p <= n; p++) {
        if (n % p == 0) { // 如果 p 是 n 的质因数
            while (n % p == 0) { // 将 n 中的 p 因子全部除去
                n = n / p;
            }
            result -= result / p; // 更新结果
        }
    }
    if (n > 1) { // 如果 n 仍然是质数
        result -= result / n;
    }
    return result;
}

int main() {
    int n = 10;
    cout << "Euler's Totient Function for n = " << n << ": " << eulerPhi(n) << endl;
    return 0;
}

输出：

Euler's Totient Function for n = 10: 4

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代码说明

1. 直接计算法：

   • 遍历从 1 到 (n) 的所有数，检查每个数是否与 (n) 互质（通过 __gcd 函数计算最大公约数）。
   • 时间复杂度：(O(n \log n))。

2. 质因数分解法：

   • 对 (n) 进行质因数分解，利用欧拉函数公式计算结果。
   • 时间复杂度：(O(\sqrt{n}))。

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示例分析

1. 计算 (\phi(10))

• 质因数分解：(10 = 2 \times 5)。
• 根据公式：
  [
  \phi(10) = 10 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = 4
  ]
• 结果：4。

2. 计算 (\phi(12))

• 质因数分解：(12 = 2^2 \times 3)。
• 根据公式：
  [
  \phi(12) = 12 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 12 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 4
  ]
• 结果：4。

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Python代码

1. 直接计算法

import math

def euler_phi_naive(n):
    count = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if math.gcd(i, n) == 1:
            count += 1
    return count

# 示例
print(euler_phi_naive(10))  # 输出 4

2. 质因数分解法

import math

def euler_phi(n):
    result = n
    p = 2
    while p * p <= n:
        if n % p == 0:
            while n % p == 0:
                n = n // p
            result -= result // p
        p += 1
    if n > 1:
        result -= result // n
    return result

# 示例
print(euler_phi(10))  # 输出 4

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五、示例分析

1. 计算 (\phi(10))

• 质因数分解：(10 = 2 \times 5)。
• 根据公式：
  [
  \phi(10) = 10 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = 4
  ]
• 结果：4。

2. 计算 (\phi(12))

• 质因数分解：(12 = 2^2 \times 3)。
• 根据公式：
  [
  \phi(12) = 12 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 12 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 4
  ]
• 结果：4。

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六、应用场景

1. RSA 加密算法
   • 欧拉函数用于计算公钥和私钥。
2. 模运算
   • 欧拉定理：若 (\gcd(a, n) = 1)，则 (a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n})。
3. 数论问题
   • 如求解同余方程、计算原根等。

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七、总结

• 欧拉函数是数论中的重要工具，用于计算与 (n) 互质的数的个数。
• 通过质因数分解法可以高效计算欧拉函数。
• 在实际应用中，欧拉函数常用于密码学、模运算和数论问题。