【数论】SSL_1157 简单数学题

最新推荐文章于 2021-09-29 18:29:43 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-29 18:29:43 发布 · 228 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#数论

数学专栏收录该内容

53 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了如何通过枚举和数学转换解决特定类型的数学问题，即给定正整数N，求所有符合条件的正整数T(0<T<N)，并详细解释了算法思路和实现代码。

题意

给出 $N$ ，求出每一个 $正整数 T (0 < T < N)$ 。

$N−12TN−T\frac{N - \frac{1}{2}T}{N-T}$

思路

设 $x$ 为 $N - T$
有
$T = N - x$
然后我们可以转一下公式：
$N−12TN−T\frac{N - \frac{1}{2}T}{N-T}$
$=N−12(N−x)x=\frac{N - \frac{1}{2}(N-x)}{x}$
$=12Nx+12xx=\frac{\frac{1}{2}N}{x}+ \frac{\frac{1}{2}x}{x}$
$=N2x+12=\frac{N}{2x}+\frac{1}{2}$
设 $k$ 为一个正整数，根据题意可得
$N2x+12=k\frac{N}{2x}+\frac{1}{2}=k$
有
$Nx+1=2k\frac{N}{x}+1=2k$
因为 $k$ 是正整数，所以 $2 k$ 为偶数，所以
$Nx为奇数\frac{N}{x}为奇数$
综上所述，我们枚举一下 $N$ 的约数 $x$ ，根据上面的性质统计答案。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long N, cnt;
long long a[4001];
int main() {
	scanf("%lld", &N);
	for (long long i = 1; i * i < N; i++) {
		long long x = i;
		if (N % x) continue;
		if ((N / x) % 2) a[++cnt] = N - x;
		if (i == 1) continue;
		x = N / i;
		if ((N / x) % 2) a[++cnt] = N - x;
	}
	sort(a + 1, a + cnt + 1);
	printf("%d", cnt);
	for (int i = 1; i <= cnt; i++)
		printf(" %lld", a[i]);
}