【线段树树状数组】Contest Hunter_4302 Interval GCD

最新推荐文章于 2024-01-22 01:47:04 发布

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#线段树 #树状数组

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本文介绍了一种解决区间加法与最大公约数查询问题的方法。通过使用差分序列和线段树来维护区间更新，并结合树状数组进行区间内元素的增减操作。最后利用更相减损法原理，巧妙地实现了最大公约数的快速查询。

题意

给出一个长度为 $N$ 的序列，每次有 $M$ 条指令，有两种：
$“ C$ $l$ $r$ $d ”$ ，表示把 $A_l,A_l+1,…,A_r$ 都加上 d。
$“ Q$ $l$ $r ”$ ，表示询问 $A_l,A_l+1,…,A_r$ 的最大公约数。

思路

根据更相减损法，我们可以知道 $g c d (x, y) = g c d (x, y - x)$
同理 $g c d (x, y, z) = g c d (x, y - z, z - y)$ ，那么通过这个性质，我们可以用一个差分序列 $B$ 放到线段树里来维护最大公约数，询问的时候就等于求出 $gcd(A_l,ask(1,l+1,r))$ ，通过差分还可以令它实现区间修改，我们再利用树状数组来维护一开始的序列增加的值。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define lson(p) ((p) << 1)
#define rson(p) ((p) << 1 | 1)
#define abs(p) ((p) > 0 ? (p) : (-p))
using namespace std; 
ll a[500001], c[500001], x, y, z;
struct treenode{
	int l, r;
	ll v;
}t[2000001];
int n, m;
char check;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
void build(int p, int l, int r) {
	t[p].l = l;
	t[p].r = r;
	if (l == r) {
		t[p].v = a[l] - a[l - 1];
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lson(p), l, mid);
	build(rson(p), mid + 1, r);
	t[p].v = abs(gcd(t[lson(p)].v, t[rson(p)].v));//abs防止差分的gcd是负数
}
ll ask(int p, int l, int r) {
	if (t[p].l == l && t[p].r == r) return abs(t[p].v);
	int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
	if (r <= mid) return ask(lson(p), l, r);
	else if (l > mid) return ask(rson(p), l, r);
	else {
		ll a = ask(lson(p), l, mid), b = ask(rson(p), mid + 1, r);
		return abs(gcd(a, b));
	}
}
ll find(int x) {
	ll result = 0;
	for (; x; x -= x & -x) result += c[x];
	return result;
}
void add(int x, ll v) {
	for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;
}
void change(int p, int x, ll v) {
	if (t[p].l == x && t[p].r == x) {
		t[p].v += v;
		return;
	}
	int mid = (t[p].l + t[p].r) >> 1;
	if (x <= mid) change(lson(p), x, v);
	else change(rson(p), x, v);
	t[p].v = abs(gcd(t[lson(p)].v, t[rson(p)].v));
}
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
	build(1, 1, n);
	while (m--) {
		check = getchar();
		while (check < 'A' || check > 'Z') check = getchar();
		if (check == 'Q') {
			scanf("%d %d", &x, &y);
			ll ans = gcd(a[x] + find(x), ask(1, x + 1, y));
			cout<< ans << endl;
		}
		else {
			scanf("%d %d %lld", &x, &y, &z);
			add(x, z);
			add(y + 1, -z);//维护区间
			change(1, x, z);//维护区间
			if (y < n) change(1, y + 1, -z);//防止爆炸
		}
	}
	return 0;
}