【数论】JZOJ_5791 阶乘

题意

给出$N$个数，它们的乘积为$P$，求出最小的$M$，且$M!$可以整除$P$。

思路

一个数可以分解成若干个质数的积，所以我们可以把$P$分解质因数，其实也就是分别把这$N$个数分解质因数。

然后$M!$能整除$P$，前提是$M!$每个质因子的指数都大于$P$的每个质因子的质数，这样子才能约掉。

对于$P$的每个质因子$q$，找到一个数$k$，使得$k$最小且$k!$的质因子$q$的指数都大于等于$P$中$q$的指数。

这些$k$中取最大的就是答案。因为这些$k$中，大的$k$的阶乘的质因子就包含了小的$k$的阶乘的质因子，所以最大的$k$的阶乘是满足质因子指数都大于等于$P$的质因子指数的。

代码

#include<cstdio>
#define max(a, b) (a) > (b) ? (a) : (b)

int N, a, ans;
int p[100001];

int main() {
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &a);
		for (int j = 2; j * j <= a; j++)
			for (; a % j == 0; p[j]++, a /= j);
		if (a > 1) p[a]++;//分解质因数
	}
	for (int i = 2; i <= 100000; i++) {
		if (p[i]) {
			int result = i;
			for (; p[i]; result += i) {//在加i才能让质因子中i个数变多
			                  //例如5！中只有1个5，再加上5就变成10！，变成2个5
				int t = result;
				while (t % i == 0 && p[i]) t /= i, p[i]--;
			}
			ans = max(ans, result - i);//多加了一次
		}
	}
	printf("%d", ans);
}