【数论】JZOJ_5791 阶乘

本文介绍了一种算法,通过分解给定数值的质因数,寻找能够整除该数值的最小阶乘数。核心思路在于将目标数值分解为质因数的积,然后针对每个质因数,找到最小的阶乘数,其质因数的指数不小于目标数值中对应质因数的指数。

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题意

给出NNN个数,它们的乘积为PPP,求出最小的MMM,且M!M!M!可以整除PPP

思路

一个数可以分解成若干个质数的积,所以我们可以把PPP分解质因数,其实也就是分别把这NNN个数分解质因数。

然后M!M!M!能整除PPP,前提是M!M!M!每个质因子的指数都大于PPP的每个质因子的质数,这样子才能约掉。

对于PPP的每个质因子qqq,找到一个数kkk,使得kkk最小且k!k!k!的质因子qqq的指数都大于等于PPPqqq的指数。

这些kkk中取最大的就是答案。因为这些kkk中,大的kkk的阶乘的质因子就包含了小的kkk的阶乘的质因子,所以最大的kkk的阶乘是满足质因子指数都大于等于PPP的质因子指数的。

代码

#include<cstdio>
#define max(a, b) (a) > (b) ? (a) : (b)

int N, a, ans;
int p[100001];

int main() {
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &a);
		for (int j = 2; j * j <= a; j++)
			for (; a % j == 0; p[j]++, a /= j);
		if (a > 1) p[a]++;//分解质因数
	}
	for (int i = 2; i <= 100000; i++) {
		if (p[i]) {
			int result = i;
			for (; p[i]; result += i) {//在加i才能让质因子中i个数变多
			                  //例如5!中只有1个5,再加上5就变成10!,变成2个5
				int t = result;
				while (t % i == 0 && p[i]) t /= i, p[i]--;
			}
			ans = max(ans, result - i);//多加了一次
		}
	}
	printf("%d", ans);
} 
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