【Contest Hunter 3101】阶乘分解【数论，数学】

题目大意：

题目链接：http://contest-hunter.org:83/contest/0x30「数学知识」例题/3101 阶乘分解
将$n!$分解质因数。

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思路：

$n\le 1e6$，肯定是不能直接乘出来再分解的。
那么可以将1到$n$的每个数分解质因数再合起来吗？时间复杂度$O(n\sqrt{n})$，依旧不现实。
考虑每一个质数$p$，在1到$n$中，很明显是有$[\frac{p}{n}]$（$[]$表示向下取整）个数字含有质因数$p$，有$[\frac{p^2}{n}]$个数有质因数$p^2......$有$\frac{p^k}{n}$个数含有质因数$p^k$。
所以，$n!$中就有${\sum }_{p^k\le n}c[p][k]$个$p$。
时间复杂度$O(nlogn)$

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代码：

#include <cstdio>
#define N 2000010
using namespace std;

int p[N],c[N],v[N],n,m;
long long k;

void prime()  //线性筛质数
{
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i])
		{
			p[++m]=i;
			v[i]=i;
		}
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (p[j]>v[i]||i*p[j]>n) break;
			v[i*p[j]]=p[j];
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	prime();
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		k=1;
		while (k*p[i]<=n)
		{
			k*=p[i];  
			c[i]+=n/k;  //记录个数
		}
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	 printf("%d %d\n",p[i],c[i]);
	return 0;
}