两直线的交点

本文介绍如何使用射影几何的方法来计算两直线的交点,包括交点的齐次坐标形式及其在欧式几何下的解释。特别讨论了当直线平行或重合时的情况。

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直线方程1:
a0x+b0y+c0=0 a_0x + b_0y + c_0 = 0 a0x+b0y+c0=0
直线方程1的齐次表示:
I0:(a0,b0,c0) I_0 : (a_0, b_0, c_0) I0:(a0,b0,c0)
直线方程2:
a1x+b1y+c1=0 a_1x + b_1y + c_1 = 0 a1x+b1y+c1=0
直线方程2的齐次表示:
I1:(a1,b1,c1) I_1 : (a_1, b_1, c_1) I1:(a1,b1,c1)
根据射影几何的相关内容,两直线的交点的齐次坐标形式为:
p=I0×I1 p = I_0 \times I_1 p=I0×I1
p:(b1∗c2−c1∗b2,c1∗a2−a1∗c2,a1∗b2−b1∗a2) p : (b_1 * c_2 - c_1 * b_2, c_1 * a_2 - a_1 * c_2, a_1 * b_2 - b_1 * a_2) p:(b1c2c1b2,c1a2a1c2,a1b2b1a2)
简记为:
p:(x0,y0,z0) p:(x_0, y_0, z_0) p:(x0,y0,z0)

z0=0z_0 = 0z0=0时,直线重合则交点无穷多,直线不重合,则平行,交点位于无穷远处,在欧式几何框架下,解不存在;
z0!=0z_0!=0z0!=0时,交点为(x0z0,y0z0)(\frac{x_0}{z_0}, \frac{y_0}{z_0})(z0x0,z0y0),即
(b1∗c2−c1∗b2a1∗b2−b1∗a2,c1∗a2−a1∗c2a1∗b2−b1∗a2) (\frac{b_1 * c_2 - c_1 * b_2}{a_1 * b_2 - b_1 * a_2}, \frac{c_1 * a_2 - a_1 * c_2}{a_1 * b_2 - b_1 * a_2}) (a1b2b1a2b1c2c1b2,a1b2b1a2c1a2a1c2)

参考文献:
《Multiple View Geometry in Computer Vision》

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