齐次坐标系漫谈

     首先声明齐次坐标主要应用于图像处理，如果其它领域的可忽略本博客。另外文档参考多个网址说明编写，有理解不对指出，欢迎指正。注意考虑翻译准确性，专业性术语会给出对应的英文，中文术语不主流或者不正确的欢迎一并指出。

1 为什么使用齐次坐标系（homogeneouscoordinates）

     表示投影空间的无穷远（infinity），主要包括无穷远点（也称消失点，vanishing points）和无穷远线（也称消失线，vanishing line）

        利用Matrix实现投影空间的变换操作（平移，旋转，缩放，变形）

2 无穷远妙用

       请牢记上面齐次坐标的两个实用之处，参考资料形形色色的解释几乎都是围绕这两点进行。下面先给出2维齐次坐标的形式，然后拿出笔者觉得有意思的一些解释给大家演示：

       欧式空间坐标（x，y）的长相（值与点一一对应）是唯一的，齐次坐标系中其面貌就无穷多了，（xz，yz，z）只要z≠0都对应于（x，y），尺度不变形就是为啥叫齐次坐标系的原因。即齐次坐标系中（x，y，z）对应的欧式空间点为（x/z，y/z），嘿嘿一猜就知道 z＝0 表示无穷点。

        大家肯定觉得，多个0表示无穷远没啥啊，甚至欧式空间也有无穷大的符号来表征这个特性。不得不提投影空间两个平行线相交就要了老命了，你试试ꝏ这个去表征无穷大，然后考虑两个平行线相交吧，打死没法求交点。嘻嘻齐次空间真有办法，齐次空间线的表示方式就不解释了，下面给出欧式空间和齐次空间的线表达式：

ax+by+c=0

ax+by+cz=0

        看出来了吗，常数项多了一个z。千万不要管这个表达式是怎么想出来的，来看看其妙用，齐次空间两条线表达式如下：

        当满足下面条件时，两个表达式表示同一条线哦（与欧式空间大大的不同）。

       

        两条线的交点坐标如下：

        交点坐标（x，y，z）当z等于0时表示无穷远点，当z等于0时a1b2-a2b1=0不正是空间中两条线平行满足的条件吗，平行线在投影空间相交与无穷远点的求解就是这么潇洒啊（数学家厉害）。

3 Matrix计算妙用

        这部分不再穿插介绍，不假思索给出迪卡尔坐标系下的投影变换

       

       上面的投影变换在迪卡尔坐标系中往往一次只适用于一个点（考虑到后面Matrix操作会提高投影变换效率，这点非常重要）。考虑上式a=0，b=0，c=1的情况不难投影变换的特殊情况发现：

       

       上面的式子到底有啥特别之处，别急进一步试试A=E=1,B=D=0：

        这不正是我们常见的平移操作吗，照这样看旋转和缩放操作也要沦陷在投影变换的特殊情况中了，嘻嘻下面两个式子正是如此直白

       

下面请注意留神看，在齐次坐标系中矩阵乘以一个点表达式如下：

          回头去看齐次坐标的定义，显然齐次坐标          对应的欧式空间坐标为

        很多人奇怪为什么不换一个符号表示 ，你大概是忘了齐次坐标的由来了，细想一下就知道是一个意思了。重要的是你发现没上面的式子不正是欧式空间的投影变换？根据之前欧式空间的一系列变换推导，我们知道这个变换包含了平移，旋转和缩放情况。由于矩阵可以组合，也就是可以通过组合 平移，旋转，缩放，其他变换 而得到一个最终的单一变换矩阵，即齐次坐标系的复杂变换可转化为矩阵运算。齐次坐标投影变换的这种特性可以加速你的计算，从而实现程序加速。

        注明一点仿射空间是很难做到这一点，并非完全不可能，关于什么是仿射空间在后面补齐。顺便说一下可以将齐次坐标的第三个值看作图片到摄影机的距离（仅仅便于理解而已）。

参考资料：

https://prateekvjoshi.com/2014/06/13/the-concept-of-homogeneous-coordinates/

https://plus.maths.org/content/real-projective-plane-homogeneous-coordinates

https://computergraphics.stackexchange.com/questions/1536/why-are-homogeneous-coordinates-used-in-computer-graphics

http://wordsandbuttons.online/interactive_guide_to_homogeneous_coordinates.html

http://www.it.hiof.no/~borres/j3d/math/homo/p-homo.html

https://www.tomdalling.com/blog/modern-opengl/explaining-homogenous-coordinates-and-projective-geometry/