高等数学学习笔记 ☞ 无穷小比较与等价无穷小替换

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原创最新推荐文章于 2026-05-16 05:52:40 发布 1.8k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

《微积分小白入门》第六章：无穷小的比较与运算掌握无穷小的比较和等价替换是计算极限的利器。记住：乘除可换，加减谨慎，复合要看整体。通过大量练习，你一定能熟练运用这些技巧！下一章我们将学习极限的运算四则法则，敬请期待。思考题：计算lim(x→0) [(1+x)¹/ˣ - e]/x =?（提示：需要更高阶的展开）阅读详情

1. 无穷小比较

1. 本质：就是函数的极限趋于0时的速度，谁快谁慢的问题。

2. 定义：若 $\alpha ,\beta$ 是在同一自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$ ，则：

①：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=0$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的高阶无穷小，记作： $\beta =o(\alpha )$ 。

②：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=\infty$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的低阶无穷小。

③：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha^{k} }=c(c\neq 0,c\neq \infty ,k>0)$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。

④：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=c(c\neq 0,c\neq \infty )$ ，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。

⑤：若 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=1$ ，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作： $\alpha \sim \beta$ 。

备注：

①：进行无穷小比较时，必须指明自变量 $x$ 的变化过程。

②：当 $x\rightarrow 0$ 时， $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$ 。

3. 定理： $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小 $\Leftrightarrow$ $\beta = \alpha +o(\alpha )$ 。

证明：

①： $\Rightarrow \alpha \sim \beta ,\lim_{}\frac{\beta -\alpha }{\alpha }=\lim_{}(\frac{\beta }{\alpha }-1)=0$ 。

②： $\Leftarrow \beta =\alpha +o(\alpha ),\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=\lim_{}\frac{\alpha+o(\alpha) }{\alpha }=\lim_{}(1+\frac{o(\alpha) }{\alpha }) = 1$ 。

备注：当 $o(\alpha )$ 单独拿出来时， $o(\alpha )$ 表示比 $\alpha$ 的高阶无穷小的无穷小，即 $o(\alpha )$ 比 $\alpha$ 趋近于0的速度快。

2. 常用的等价无穷小

当 $x\rightarrow 0$ 时，以下的等价无穷小是成立的。

（1） $sinx\sim x$ $tanx\sim x$ $arcsinx\sim x$ $arctanx\sim x$

（2） $1-cosx\sim \frac{1}{2}x^{2}$ $cosx-1\sim- \frac{1}{2}x^{2}$

（3） $\sqrt[]{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$ $1-\sqrt[]{1+x}\sim- \frac{1}{2}x$

（4） $\sqrt[3]{1+x}-1\sim \frac{1}{3}x$ $1-\sqrt[3]{1+x}\sim- \frac{1}{3}x$

（5） $ln(1+x)\sim x$ $e^{x}-1\sim x$ $1-e^{x}\sim -x$

（6） $a^{x}-1\sim xlna$ $1-a^{x}\sim -xlna$ ( $a$ > 0且 $a$ ≠ 1)

备注：上述的 $x$ 均可以进行整体替换。

3. 等价无穷小替换

定理：已知 $\alpha \sim \widetilde{\alpha }$ ， $\beta \sim \widetilde{\beta }$ ，若 $\lim_{}\frac{\widetilde{\beta }}{\widetilde{\alpha }}$ 的极限存在，则又 $\lim{\frac{\beta }{\alpha }}=\lim_{}\frac{\widetilde{\beta }}{\widetilde{\alpha }}$ 。