线性代数学习笔记之向量空间

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原创最新推荐文章于 2026-03-10 00:43:55 发布 1.6k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

基础线性代数知识点总结与回顾（四）：线性空间基础线性代数知识点总结与回顾（四）：线性空间骨骼图： #其实，线性空间是向量空间内容的扩展。首先我把向量空间的内容截图搬过来，便于你们的比较与对照。线性空间设V是实数域k上的线性空间，W是V的非空子集，如果W对V中定义的加法和数乘运算都封闭，则称W是V的子空间。对比向量空间的子空间概念发现，n维向量空间被替换为线性空间V。设V是线性空间，如果V中存在n个线性无关的向量，而任意n+1个向量都线性相关，则称线性空间V是n维线性空间，而这n个线性无关的向量称为线性空间V的一组基。设是线性空间的一阅读详情

1. 知识回顾

1. 定义：指具有大小和方向的量，称之为向量(物理学中称矢量)。

备注：

①：与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量只有大小，没有方向。

②：几何向量的概念在线性代数中抽象化后，那么几何向量的概念不一定适用于抽象化后的向量。

2. 表达方式：

（1）代数表示：①：一般印刷体用黑体的小写英文字母来表示。

②：一般手写体用小写英文字母 $a$ ， $b$ 或者大写英文字母AB，CD上加一箭头等表示。

（2）几何表示：可以用带有箭头的线段来表示。

备注：

①：箭头的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。

②：当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取，即：向量与有向线段的起点无关。

（3）坐标表示：

①：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 $i,j$ 作为一组基底，

则平面直角坐标系内的任意向量 $a$ 可表示为 $a = xi+yj$ ，此时把实数对(x,y)叫做向量 $a$ 的坐标，记作 $a$ = (x,y)。

备注：在平面直角坐标系中，以坐标原点O为起点P为终点作向量a，则点P的坐标为(x,y)。

②：在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量 $i,j,k$ 作为一组基底。

则空间直角坐标系内的任意向量 $a$ 可表示为 $a = xi+yj+zk$ ，此时把实数对(x,y,z)叫做向量 $a$ 的坐标，记作 $a$ = (x,y,z)。

备注：在空间直角坐标系中，以坐标原点O为起点P为终点作向量a，则点P的坐标为(x,y,z)。

（4）矩阵表示：

①：在平面直角坐标系中， $a = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ ②：在空间直角坐标系中， $a = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$

3. 相关定义：

（1）向量的模：就是指向量的大小。

备注：已知向量 $a$ = (x,y)，则向量 $a$ 的模为： $\left | a \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。

（2）①：单位向量：就是指模为1的向量。 ②：零向量：就是指模为0的向量。

备注：零向量的始点和终点重合，所以零向量的方向是任意的。

（3）相等向量：就是指长度相等且方向相同的向量。

备注：所有的零向量都相等。

4. 向量的运算：

已知向量 $a=(x_{1},y_{1})$ ， $b=(x_{2},y_{2})$ ， $\lambda \in R$ ，向量 $a$ 与向量 $b$ 的夹角为 $\theta$ (0≤ $\theta$ ≤ π)，则：

（1）向量的加减法：

①：满足平行四边形法则和三角形法则。

②： $a+b=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ ， $a-b=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$ 。

（2）向量的数乘：

实数 $\lambda$ 和向量 $a$ 的乘积是一个向量，记作 $\lambda a$ ，且 $|\lambda a| =| \lambda||a|$ 。

备注：

①：如果 $\lambda a$ = $0$ ，那么 $\lambda$ = 0或 $a$ = $0$ 。

②：乘数向量 $\lambda a$ 的几何意义就是将表示向量 $a$ 的有向线段伸长或压缩。

（3）向量的数量积：又称向量的内积、点乘。

$a\bullet b=|a| |b|cos\theta$ 。

备注：向量的数量积的运算结果为标量。

（4）向量的向量积：又称向量的外积、叉乘。

$a\times b=|a| |b|sin\theta$ 。

备注：

①：向量的向量积的运算结果为向量。

②： $a\times b$ 的方向是：垂直于 $a$ 和 $b$ ，且 $a$ 、 $b$ 和 $a\times b$ 按这个次序构成右手系。

小贴士：向量没有除法， $\frac{a}{b}$ 是没有意义的。

2. 向量空间

1. 向量空间

（1）向量空间定义：设集合 $\nu$ 是所有 $n$ 维向量的非空集合，对 $\forall a,b \in \nu$ ，有 $a+b \in \nu$ ； $\forall a \in \nu$ ， $\lambda \in R$ ，有 $\lambda a\in \nu$ ，

则称集合 $\nu$ 是一个向量空间。

（2）向量子空间定义：设集合 $\nu_{1}$ 和集合 $\nu_{2}$ 是两个向量空间，若 $\nu_{1}$ $\subseteq$ $\nu_{2}$ ，则称集合 $\nu_{1}$ 是集合 $\nu_{2}$ 的向量子空间。

（3）性质：向量组A和向量组B等价 $\Leftrightarrow$ 向量组A和向量组B所生成的向量空间相等。

备注：

①： $R^{n}$ 含义：由所有 $n$ 维向量组成的向量空间，向量中的每个元素都是实数。

②：一般地，由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m}$ 所生成的向量空间为 $\nu =\left \{ \lambda_{1} \alpha_{1} +\lambda_{2} \alpha_{2}+...+\lambda_{m} \alpha_{n}|\lambda_{1},\lambda_{2},...\lambda_{m} \in R\right \}$ ，

可记为Span{ $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m}$ }。

2. 基维数坐标

（1）基与维数的定义：设集合 $\nu$ 是一个向量空间，若 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}\in \nu$ ，且满足：

①： $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ 是线性无关的，

②：集合 $\nu$ 中的任意向量可由 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ 线性线性表示。

那么 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ 就称为向量空间 $\nu$ 的一个基， $r$ 就称为向量空间 $\nu$ 的维数，记作：dim $\nu$ = $r$ 。

备注：

①：如果向量空间 $\nu$ 没有基，那么 $\nu$ 的维数为0，0维向量空间只包含一个零向量。

②：把向量空间看作向量组，向量空间的基就是向量组的极大线性无关组，向量空间的维数就是向量组的秩。

③：基是不唯一的，但维数是唯一的。

（2）坐标的定义：如果在向量空间 $\nu$ 中取定一个基 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ ，那么向量空间 $\nu$ 中任一向量 $x$ 可唯一的表示为：

$x = \lambda_{1} \alpha_{1} +\lambda_{2} \alpha_{2}+...+\lambda_{r} \alpha_{r}$ ，

那么这个有序数组 $\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{r}$ 就称为向量 $x$ 在基 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ 下的坐标，记作 $x = (\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{r})^{T}$ 。

备注：若向量空间 $\nu$ 的的基变了，那么坐标也就变了。

3. 过渡矩阵与坐标变换

（1）过渡矩阵：在向量空间 $\nu$ 中任取两个基：①： $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ ；②： $\beta _{1},\beta_{2},...\beta_{r}$ 。

由基的定义可知：向量空间 $\nu$ 中的任意向量可由向量空间 $\nu$ 的基线性线性表示，则有：

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1} = c_{11}\alpha _{1}+c_{21}\alpha _{2}+...+c_{r1}\alpha _{r}\\ \beta _{2} = c_{12}\alpha _{1}+c_{22}\alpha _{2}+...+c_{r2}\alpha _{r}\\ ............\\ \beta _{r} = c_{1r}\alpha _{1}+c_{2r}\alpha _{2}+...+c_{rr}\alpha _{r} \end{matrix}\right.$ 。

将其写成矩阵的形式，则有：

$(\beta _{1},\beta_{2},...\beta_{r}) = (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r})\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12}&... &c_{1r} \\ c_{21} & c_{22}&... &c_{2r} \\ ... &... & ... &... \\ c_{r1} & c_{r2}&... &c_{rr} \\ \end{pmatrix}$ 。

那么把矩阵 $C$ 称为从 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}$ 到 $\beta _{1},\beta_{2},...\beta_{n}$ 的过渡矩阵，上式称为基变换公式。

（2）坐标变换：在向量空间 $\nu$ 中任取两个基：①： $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ ；②： $\beta _{1},\beta_{2},...\beta_{r}$ 。对于 $\forall \gamma \in \nu$ ，

设 $\gamma$ 在基 $\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r}$ 下的坐标为 $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}$ ，则：

$\gamma =x_{1}\alpha _{1}+x_{2}\alpha _{2}+...+x_{r}\alpha _{r}= (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{r})\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{r} \end{pmatrix}$ 。

设 $\gamma$ 在基 $\beta _{1},\beta_{2},...\beta_{r}$ 下的坐标为 $y = (y_{1},y_{2},...,y_{n})^{T}$ ，则：

$\gamma = y_{1}\beta _{1}+y_{2}\beta _{2}+...+y_{r}\beta _{r}=(\beta _{1},\beta_{2},...\beta_{r})\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{r}\\ \end{pmatrix}$ 。