算法设计与分析5（动态规划）

动态规划的基本思想

将一个问题划分为多个不独立的子问题，这些子问题在求解过程中可能会有些数据进行了重复计算。我们可以把计算过的数据保存起来，当下次遇到同样的数据计算时，就可以查表直接得到答案，而不是再次计算

动态规划的例子

找两个字符串匹配的编辑距离

字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离，是指利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。操作包括增删改
**问题：**给定两个字符串A：sun和B：sautr，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B
解：
用<i,j>表示字符串A长为i，字符串B长为j的字符串编辑距离
对两个字符串，最末位字符进行讨论
相同：那么末位字符不需要进行操作，那么<i,j>=<i-1,j-1>
不相同：
可以做三种操作：
Ⅰ：增加一个字符：
增加后，末尾字符相同，问题变成i+1长的字符串A与j长的字符串B匹配
<i,j>=<i+1,j>+1，+1是此次做的增加操作
又由上可知<i,j>=<i-1,j-1>，所以
<i,j>=<i,j-1>+1
Ⅱ：删
同理，<i,j>=<i-1,j>+1
Ⅲ：改
同理，<i,j>=<i-1,j-1>+1
做矩阵图，<i,j>框内数字表示A前i个字符与B前j个字符匹配时，最小修改次数，由图可知，确定它的最小值，如果末尾字符相同，则等于左侧对角线值，不相等，则从周围三个数值中，选最小的+1

背包问题

**问题：**有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
假设现在有四个物品，背包容量为8

i（编号） 1 2 3 4
w（体积） 2 3 4 5
v（价值） 3 4 5 6

解：
矩阵图中<i,j>表示从下标为 [0 - i] 的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
每次我们有两种选择：
将物品放入背包：加该物品的重量和价值
不放入：保持原来的数值
如果容量为3，可以选择的物品有1，2，3
那么我们只需要比较<i-1,j>，<i-1,j-w(i))>+v(i)
其中<i-1,j>表示不装该物品，<i-1,j-w(i))>+v(i) 表示装了该商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；
取两者中最大值即可