高数 导数

文章目录

一，导数的知识点

二，单侧导数

三，可导和连续的关系

 四，复合函数求导

五，参数方程求导 

六，高阶导数求导 

七，隐函数求导 

 八，微分基础

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一，导数常用的知识点

1，利用平均速度和瞬时速度来理解导数

从t0到t的时间内的平均速度近似表示为t0的速度

当t0趋于t的时候，取这个极限，就越来越接近这个t0的时候的速度值，这就是利用平均速度和瞬时速度来理解导数

2，利用切线和割线的关系来理解导数

我们可以看到A点和B点，当B点逐渐趋近于A点的时候，我们就可以的道A点的切线，这就是A点的导数，这个就是割线和切线之间的关系这个直线我们可以用一个关系式子来表示

 A（x0，y0）             B（x1，y1）   这里的B点相当于一个动点，逐渐的靠近A

我们就可以的得到这个公式来表示A点的斜率

3，导数的表达形式

这个是极限写法和非极限写法来表示该点的导数，我们应该牢记在心中，我们来简单的梳理一下方便记忆

我们在利用极限写法的时候，我们可以脑海里面画出切线和割线的变化图，然后一个就是到一个点，那么一定是点的移动，那么就是有变化值的，但是我们导函数的时候呢，我们是取两个点来进行求导嘛~，这样我们就方便记忆多了还有一个就是变化值的写法

然后这个非极限的写法就十分容易记忆了

4，常用的求导公式

这些公式是要牢记在心中的，这样我们才可以解题目，至于怎么推出来的，我们不必很多的时间 

 这个是常用的求导法则：

二，单侧倒数

在我们理解导数的时候，是指两侧向这个x0逼近的，所以我们就有了左右导数的概念，这才有了单侧倒数的提出

 单侧倒数就是指某一侧向这个值逼近，经典的函数就是| x |这个函数了 

我们来看这个导数，这个函数的左导数是-1，右导数为-1，这个就是左导数和右导数不一样，然后就是这个点的导数不存在，所以我们这个时候就会有几个推论

推论1： 当左导数和右导数相同的时候，我们这个点就是有导数的

推论2：（a,b）上面可导，左端点的右侧导数可导，右端点的左侧导数可导，则会有[ a, b ]可导

这里的a和b不是左右都可导，因为这个是端点，所以有点特殊，对于闭区间 [a, b] 的端点，我们只能考虑单侧导数，因为端点处没有另一测的点

导数的几何意义：

可导的几何意义：图像为光滑的曲线（带尖的不行）因为左右的的导数不一样，比如| x |这个函数，这个就不行在0这个点

用到的地方：求切线，求法线（这些都是十分简单的）

三，可导和连续的关系：

1，记忆方法

（总结：可导一定连续，但是连续不一定可导）

记法：可导是一个光滑的曲线，但是连续不一定是光滑的曲线，只要求连续即可

这个是一个示意图，用于记忆

2，理论推导

3，例题：

总结：可导的求值要为一个固定的数不可以趋向无穷小或者无穷大，但是连续不一样，他只要一笔画即可，总的来说，连续一笔画，可导一笔画plus版

 四，复合函数求导

复合函数定理和理解：

但是这个链式法则也很好用在一些情况

宋式洋葱法则

主要就是一层一层的往外剥开

例题  复合函数的特殊例题：

通常的特例，利用对数法是可以轻松解决的

总结：

高阶导数主要记住链式法则和宋式洋葱法则，我们要学会一层一层往外剥开，这个链式法则在参数方程求导是十分有用的，也需要理解，然后这个特殊的例子就是用我们的对数法即可 

五，参数方程求导 

参数方程的定义和理解

这里解利用了链式法则来理解这个参数方程的求导方法这个就是参数方程的基本定义，我们只需要理解这个就可以解题目了

例题：

当我们在参数方程求解二阶导的时候

公式理解

例题：

 这里就是注意不要不止止要把导数的导数求导，还要再把x求一遍导，这里一定要注意 

六，高阶导数求导 

高阶导数的本质就是把一个函数就进行求多次导数，比如求一个函数的两次导数就是求这个函数的高阶导数，或者三次求导，n次求导

重要函数的高阶导数

 三角函数，指数和对数是在高阶导数是十分重要的

我们对于高阶导数，有一些题目是需要找规律的，找规律方法

例题：

 总结：对于高阶导数，我们要记住怎么去求导，这个求导是要利用到洋葱法则，还要记住求导的规律

七，隐函数求导 

隐函数的实质就是把x和y放到一起了而已，然后进行一起求导

显函数和隐函数的区别

例题 

在我们求导的时候记得y是一个复合函数，所以我们要利用复合导数的求导方法来对这个函数求导，最核心的操作也就是把y'提取出来

这个是一个很基础的问题，这个很平常

特殊例题

这个掌握的核心技巧就是互换x找到定义域

总结

对于隐函数的求导，特殊的题目基本都是用对数法（取对）然后取完对数之后，就要找定义域，这些定义域是关乎是正数还是负数，然后分别求导就好了，然后平常的题就是求完导数之后就是把y'提取出来就好了

 八，微分基础

微分最重要的就是x发生了一个为小的变化，问y发生了多少的变化

微分的最主要的目的就是把这个y的变化量怎么把这个准确值近似的估计出来

我们以一个正方形来理解一下微分究竟是一个什么东西

微分的引入

我们来看这个正方形，当我们扩大边长的时候，我们要求解增长了多少的面积，那么这个时候就是有大的减去小的嘛

s变化量=(x+x的变化量)^2-(x的变化量)^2=2x*x的变化量+(x的变化量)^2

如果x的变化量趋向于0的时候，那么这个后面的这个就是会很小很小，这个就是取他的高阶无穷小，几乎可以省略掉，然后我们就只剩下前面的式子，s的变化量主要是根据他变化的，然后这里的2x称他为A，我们就有了这个式子，然后这里的Ax的变化量为线性部分，这一部分可以近似的等于这个s的变化量，这里也就可以引入这个微分的概念

微分的定义

首先这个y的变化值我们称作为精确值，然后这个后面我们要利用微分把这个精确值给估计出来这里的A有前面的正方形的例子可以知道，这个跟x的变化量无关，跟x本身有关，然后称为这个点可微，然后把这个Ax的变化量称为这个y的变化量的近似值，基座dy=Adx

可微的条件 

可微<=>可导（他们都是可以相互推的）

我们根据这个就需要知道微分里面的A其实就是这个函数的导数，

例题

 基本的为微分法则与公式

这里就是多了一个dx而已

对于这个法则和公式的考题：

1，复合函数的求导：

2，挖空类型题目

这个是根据后面的导数来进行反推，但是别忘记了这个常数c别落下了

微分的几何意义：

我们可以根据这个图可以知道这个到底是怎么进行近似求值

微分在近似值的应用：

当我们在处理近似值的时候，我们是要把变化量变得小一些，这样就是可以误差减少，我们可以看到这个几何意义的，当x的变化量减少这个y的变化量是越来越接近这个准确值的

我们在x趋于0的时候，是可以利用约等于的这个是十分好用的，可以把这个较复杂的式子变成简单的式子