高等数学——导数的定义和常见导数

本文始发于个人公众号：TechFlow

导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线$y=f(x)$，我们想要求出这个曲线在某个点$M$的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，$\angle NMT$在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为$\tan \varphi$，其中$\tan \varphi =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

当N逼近于M时：

$$\tan \varphi =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

我们令$\Delta x=x-x_0$，所以：

$$\tan \varphi =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

此时$\tan \varphi$的结果就是函数在$x_0$处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的邻域内有定义，当自变量$x$在$x_{}$