高等数学基础（1）——函数和导数

        我们知道机器学习的特点就是：以计算机为工具和平台，以数据为研究对象，以学习为中心；是概率论，线性代数，数值计算，信息论，最优化理论和计算机科学等多个领域的交叉学科。所以这里我打算补充一下机器学习涉及到的一些常用的知识点。

        对于人工智能必备数学基础这个专栏，我将自己的高等数学，线性代数，概率论与数理统计等笔记均会发布在这里，算是自己回顾一下之前的数学基础，也希望看到的盆友可以巩固一下机器学习的基础，别一路走来，只会深度学习炼丹了，我们还是要不忘初心，方得始终。哈哈哈。

　　（注意：目前自己补充到的所有知识点，均按照自己之前看的网课视频中老师课程知识点走的，大概是四年前了，并不是大学课本的搬运，只是快速总结。如有错误请多多指正，谢谢！）

1，函数

1.1  函数的定义

　　函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变换的观点出发。函数的近代定义是给定一个数据集A，假设其中的元素为x，对A中的元素施加对应法则 f ，记做 f(x)，得到另一数据集B，假设B中的元素为y，则 x 和 y 之间的等量关系可以用 y = f(x) 表示。函数概念含有三个要素：定义域A，值域B和对应法则 f 。其中核心为对应法则 f，它是函数关系的本质特征。

　　在一个变换过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为 x ，而 y 则随 x 值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。

　　自变量（函数）：一个与它量有关系的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

　　因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其对应。

　　函数值：在 y 是 x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，当 x 取 a 时， y 就 随之确定为 b，b 就叫做 a 的函数值。

　　注意：符号只是一种表示，任何符号都是帮助我们理解的，它本身没有特殊的含义。都是我们给予赋值操作，也可以如下：

1.2  常见的几种函数

　　分段函数：就是对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

　　反函数：一般来说，设函数 y = f(x) 的值域为C，若是找得到一个函数 g(y) 在每一处 g(y) 都等于 x，这样的函数 x = g(y) 叫做函数 y = f(x) 的反函数，记做 x = f-1(y)。反函数 x = f-1(y) 的定义域，值域分别为函数 y = f(x) 的值域，定义域。最具代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

　　显函数与隐函数：显函数是函数的类型之一，解析式中明显的用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数；如果方程F(x, y) =0 能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

　　狄利克雷函数：是一个定义在实数范围内，值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

　　实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：

　　其中：k,j 为整数。

　　也可以简单的表示为分段函数的形式，如下：

　　狄利克雷函数的性质：

• 1，定义域为整个实数域R，值域为{0, 1}，函数为偶函数
• 2，无法画出函数周期，但是它的函数图像客观存在
• 3，以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
• 4，处处不连续，处处不可导，在任何区间内黎曼不可积
• 5，函数是可测函数
• 6，函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期

　　黎曼函数：是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在 [0, 1]上。黎曼函数在高数中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

　　其基本定义如下：

　　正态分布：

　　（μ  是期望， σ2 是方差）

　　标准正态分布：

　　（μ  是期望=0， σ2 是方差=1）

1.3 函数的特性

有界性

　　设函数 f(x) 在区间 X 上有定义，如果存在 M>0，对于一切属于区间 X 上的 x，恒有 | f(x) | <= M，则称 f(x) 在区间 X上有界，否则称 f(x) 在区间上无界。

奇偶性

　　设 f(x) 为一个实变量实值函数，若此函数关于 y 轴对称，则称 f(x) 为偶函数。