本文详细解析了TopCoder SRM468C的MallSecurity问题，探讨了如何将问题转化为求解二分图的最大独立集。当节点数N为偶数时，可以利用最大独立集与最大匹配的关系进行求解。若N为奇数，则通过枚举某一层节点的选择情况，将问题简化为处理后的二分图问题。虽然代码实现复杂，但理论分析清晰。
这道题模型还是挺显然的
这看起来是一个N分图，但当N是偶数的时候，这就是一个二分图，奇数层的在左边，偶数层的在右边，原题就是要求一个二分图的最大独立集，∣最大独立集∣=N−∣最大匹配∣∣最大独立集∣=N−∣最大匹配∣
（我脑残了忘了这个结论还用最小割推了一波：要求最多能选中多少个点，相当于求最少扔掉多少个点，对于每条边，左边的点连向源点，流量为1，表示如果割掉这条边，相当于这个点不选，损失1；右边的点连向汇点，流量为1，表示如果割掉这条边，相当于这个点不选，损失1；两个点之间连一条INF的边，我们考虑到如果这个网络还存在一条从s到t的增广路，那一定有一条本质上是s→node1→node2→ts→node1→node2→t的路径，s→node1s→node1和node2→tnode2→t都没有割开，相当于这两个点同时选了，它们又相邻，这是不合法的，所以中间的INF的意义实际上是你不能通过割掉这条边来改变原图中的相邻关系
然后发现这个图的最小割就是二分图最大匹配…猛然想起结论QAQ)
然后我们发现如果N是奇数这个图就不是二分图
但我们注意到10≤N≤5010≤N≤50，∣node∣≤100∣node∣≤100，所以点数最少的那层点数一定小于10，所以我们只要2n2n枚举一下这一层的每个点选不选，并处理一下这层对相邻两层的影响，那么剩下的就又是一个二分图了
于是这道题就做完了
代码很难写
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cmath>
#define LL long long
#define LB long double
#define x first
#define y second
#define Pair pair<int,int>
#define pb push_back
#define pf push_front
#define mp make_pair
#define LOWBIT(x) x & (-x)
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const LL LINF=2e16;
const int INF=1e9;
const int magic=348;
const double eps=1e-10;
const double pi=3.14159265;
inline int getint()
{
char ch;int res;bool f;
while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
return f?res:-res;
}
class MallSecurity
{
int n,num[148],t,sum[148];
struct Edge {int ind1,ind2,layer;}edge[10048],tmp[10048],ttmp[10048];int etot,ttot,tttot;
bool bef[148],aft[148];
int head[100048],to[200048],nxt[200048],f[200048],tot;
inline void addedge(int s,int t,int cap)
{
to[++tot]=t;nxt[tot]=head[s];head[s]=tot;f[tot]=cap;
to[++tot]=s;nxt[tot]=head[t];head[t]=tot;f[tot]=0;
}
inline void clear()
{
etot=0;tot=1;t=0;
memset(head,0,sizeof(head));
memset(num,0,sizeof(num));memset(sum,0,sizeof(sum));
ttot=tttot=0;
}
inline int STRING_TO_INT(string s)
{
int res=0,i;
for (i=0;i<int(s.size());i++) res=res*10+s[i]-'0';
return res;
}
inline void doit_single(string s)
{
int x,y,z,p1,p2;
p1=s.find(' ');p2=s.find(' ',p1+1);
x=STRING_TO_INT(s.substr(0,p1));
y=STRING_TO_INT(s.substr(p1+1,p2-p1-1));
z=STRING_TO_INT(s.substr(p2+1,int(s.size())-p2));
edge[++etot]=Edge{x,y,z};
}
inline void doit_edge(vector<string> info)
{
string s="";int i;
for (i=0;i<int(info.size());i++) s+=info[i];s+=",";
int pos,pos1;
for (pos=0;pos<=int(s.size())-1;pos=pos1+1)
{
pos1=s.find(',',pos);
doit_single(s.substr(pos,pos1-pos));
}
}
inline void Count()
{
int i;
for (i=1;i<=etot;i++)
{
num[edge[i].layer]=max(num[edge[i].layer],edge[i].ind1);
num[edge[i].layer%n+1]=max(num[edge[i].layer%n+1],edge[i].ind2);
}
for (i=1;i<=n;i++) t+=num[i],sum[i]=sum[i-1]+num[i];
t++;
}
inline int getind(int layer,int ind)
{
return sum[layer-1]+ind;
}
inline void construct_edge()
{
int i,j,node1,node2;
for (i=1;i<=etot;i++)
{
node1=getind(edge[i].layer,edge[i].ind1);node2=getind(edge[i].layer%n+1,edge[i].ind2);
if (edge[i].layer%2==0) swap(node1,node2);
addedge(node1,node2,INF);
}
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=num[i];j++)
{
node1=getind(i,j);
if (i%2==1) addedge(0,node1,1); else addedge(node1,t,1);
}
}
int depth[100048];queue<int> q;
inline bool bfs()
{
int i,x,y;
for (i=0;i<=t;i++) depth[i]=-1;
depth[0]=0;q.push(0);
while (!q.empty())
{
x=q.front();q.pop();
for (i=head[x];i;i=nxt[i])
{
y=to[i];
if (depth[y]==-1 && f[i])
{
depth[y]=depth[x]+1;
q.push(y);
}
}
}
if (depth[t]==-1) return false; else return true;
}
inline int dfs(int x,int maxf)
{
if (x==t || !maxf) return maxf;
int i,y,now,minf,ans=0;
for (i=head[x];i;i=nxt[i])
{
y=to[i];
if (depth[y]==depth[x]+1 && f[i])
{
minf=min(maxf-ans,f[i]);
now=dfs(y,minf);
f[i]-=now;f[i^1]+=now;ans+=now;
}
if (ans>=maxf) return ans;
}
if (!ans) depth[x]=0;
return ans;
}
inline bool judge(int cur,int gap)
{
if (cur<gap) return cur%2==1; else return cur%2==0;
}
public:
inline int maxGuards(int N,vector<string> escDescription)
{
n=N;clear();
doit_edge(escDescription);
Count();
if (N%2==0)
{
construct_edge();
int ans=0;
while (bfs()) ans+=dfs(0,2e9);
return sum[n]-ans;
}
else
{
int minn=INF,minpos,Mask,i,j;
for (i=1;i<=n;i++)
if (num[i]<minn) minn=num[i],minpos=i;
for (i=1;i<=etot;i++)
if (edge[i].layer==minpos || edge[i].layer==(minpos-1==0?n:minpos-1))
tmp[++ttot]=edge[i];
else
ttmp[++tttot]=edge[i];
etot=tttot;
for (i=1;i<=etot;i++) edge[i]=ttmp[i];
int res=0,curans;
for (Mask=0;Mask<=(1<<minn)-1;Mask++)
{
tot=1;for (i=0;i<=t;i++) head[i]=0;
memset(bef,true,sizeof(bef));memset(aft,true,sizeof(aft));
curans=__builtin_popcount(Mask);
for (i=1;i<=ttot;i++)
if (tmp[i].layer==minpos)
{
if (Mask&(1<<(tmp[i].ind1-1))) aft[tmp[i].ind2]=false;
}
else
{
if (Mask&(1<<(tmp[i].ind2-1))) bef[tmp[i].ind1]=false;
}
for (i=1;i<=etot;i++)
{
int node1=getind(edge[i].layer,edge[i].ind1),node2=getind(edge[i].layer%n+1,edge[i].ind2);
if (!judge(edge[i].layer,minpos)) swap(node1,node2);
addedge(node1,node2,INF);
}
for (i=1;i<=n;i++)
{
if (i==minpos) continue;
for (j=1;j<=num[i];j++)
{
if (i==minpos%n+1 && !aft[j]) continue;
if (i==(minpos-1==0?n:minpos-1) && !bef[j]) continue;
int nde=getind(i,j);curans++;
if (judge(i,minpos)) addedge(0,nde,1); else addedge(nde,t,1);
}
}
while (bfs()) curans-=dfs(0,2e9);
res=max(res,curans);
}
return res;
}
}
};
/*---Debug Part---*/
/*
int main ()
{
MallSecurity A;int nn;vector<string> ss;
while (scanf("%d",&nn)!=EOF)
{
int mm;mm=getint();string s;ss.clear();
while (mm--)
{
getline(cin,s);
ss.pb(s);
}
printf("%d\n",A.maxGuards(nn,ss));
}
return 0;
}
*/
/*
10
2
1 1 1,1 1 2,1 1 3,1 1 4,1 1 5,1 1 6,1 1 7,1 1 8,1
1 9,1 1 10
10 9
1 1 7,1 2 9,2 1
8,1 2 6,1 1 8,1 2 3,1 2 2,2
2 4,1 1 1,2 1 2,3 2 3,1 1 5,2 1 1,4
1 7,1 1 10,3 2 5,1 2 5,3 3 1,
3 2 8,3 1 2,1 1 3,4 4 2,2
4 6,4 2 5,2 3 3,6 4 1,5 2 8,1 3 6,1 3 7,
4 3 8,1 3 8,5 2 3,4 2 8,2 6 7,1 3 9,
1 1 4,6 1 1,2 3 1,5 1 5,6 1 8,5
2 2,3 2 10,3 3 9,1 5 2,4 1 1,1 5 10
*/
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