Topcoder SRM 566 PenguinEmperor 题解

PenguinEmperor题解与算法分析

最新推荐文章于 2025-12-09 19:50:25 发布

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#算法 #线性代数

问题描述

Percy想成为企鹅皇帝。首先，他必须进行一次远程旅行来证明他自己。
　　企鹅王国中有一些城市。所有城市坐落在大山周围的圆圈。城市标号从0到numCities - 1，顺时针分布在大山周围。
　　Percy住在0号城市，他将从那里开始旅程。第一天他会去一个挨着0城市的城市，第二天他去一个离他现在所处城市2个城市远的城市，以此类推，对于任意k，在第k天他去一个离他目前所处城市k个城市远的城市。每天Percy都可以选择顺时针或者逆时针走。
　　在这里插入图片描述
　给了你numCities来代表企鹅王国的城市数，也给你一个daysPassed表示他出发到现在的天数。计算并输出满足过了daysPassed天之后他再回到0号城市的不同旅行方式。如果两种方式满足有k满足按这两种方式走过了k天Percy在不同的城市，那么视为两种不同方式。因为数量可能很大，请输出结果除以1 000 000 007的余数。

输入格式

两个数，numCities和daysPassed。

输出格式

一个数，表示方式数。

数据范围

2<=numCities<=350;
1<=dayPassed<=10^18;

题解

以下记天数为 $n$ ，城市数为 $m$ 。

算法 1

计数问题，我们可以考虑动态规划。令 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 天走到第 $j$ 个城市的方案数，初始化有 $f_{0,0}=1$ ，转移有：
$mf_{i,j}= \begin{cases} (i+j)\bmod m=((j-i)\bmod m+m)\bmod m,f_{i-1,(i+j)\bmod m}\\ \operatorname{else},f_{i-1,(i+j)\bmod m}+f_{i-1,((j-i)\bmod m+m)\bmod m} \end{cases}$
直接计算可以做到 $O (nm)$ ，期望得分 0 分。