BZOJ1911: 特别行动队题解

最新推荐文章于 2019-08-22 15:45:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-08-22 15:45:00 发布 · 291 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#BZOJ #dp #斜率优化

----------DP---------- 同时被 2 个专栏收录

52 篇文章

订阅专栏

斜率优化

3 篇文章

订阅专栏

博客详细解析了BZOJ1911题目，通过结合动态规划（DP）与斜率优化的方法，解决了一道复杂的算法问题。文章深入探讨了解题思路和公式推导过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这显然是一道dp+斜率优化题
开始大力推公式

d p [i] = min j = 1 i - 1 d p [j] + f (s u m [i] - s u m [j]) ， 其 中 f (x) = a x 2 + b x + c

$dp[i]=\min_{j=1}^{i-1}dp[j]+f(sum[i]-sum[j])，其中f(x)=ax^2+bx+c$

展 开 ， d p [i] = min j = 1 i - 1 d p [j] + a s u m [i] 2 - 2 a s u m [i] s u m [j] + a s u m [j] 2 + b s u m [i] - b s u m [j] + c

$展开，dp[i]=\min_{j=1}^{i-1}dp[j]+asum[i]^2-2asum[i]sum[j]+asum[j]^2+bsum[i]-bsum[j]+c$

考 虑 决 策 j 和 k ， 若 决 策 j 优 于 决 策 k ， 则 应 满 足 如 下 条 件 ： d p [j] + a s u m [i] 2 - 2 a s u m [i] s u m [j] + a s u m [j] 2 + b s u m [i] - b s u m [j] + c > d p [k] + a s u m [i] 2 - 2 a s u m [i] s u m [k] + a s u m [k] 2 + b s u m [i] - b s u m [k] + c

$考虑决策j和k，若决策j优于决策k，则应满足如下条件：dp[j]+asum[i]^2-2asum[i]sum[j]+asum[j]^2+bsum[i]-bsum[j]+c>dp[k]+asum[i]^2-2asum[i]sum[k]+asum[k]^2+bsum[i]-bsum[k]+c$

移 项 ， 合 并 同 类 项 ： 2 a s u m [i] (s u m [k] - s u m [j]) > d p [k] - d p [j] + a s u m [k] 2 - a s u m [j] 2 + b s u m [j] - b s u m [k]

$移项，合并同类项：2asum[i](sum[k]-sum[j])>dp[k]-dp[j]+asum[k]^2-asum[j]^2+bsum[j]-bsum[k]$
把左边的除过去：

2 a s u m [i] > ( d p [ k ] + a s u m [ k ] 2 - b s u m [ k ] ) - ( d p [ j ] + a s u m [ j ] 2 - b s u m [ j ] ) s u m [ k ] - s u m [ j ]

$2asum[i]>\frac{(dp[k]+asum[k]^2-bsum[k])-(dp[j]+asum[j]^2-bsum[j])}{sum[k]-sum[j]}$
对于

jj $j$ ，可以把

(d p [j] + a s u m [j]^{2} - b s u m [j], s u m [j])

$(dp[j]+asum[j]^2-bsum[j],sum[j])$ 看做一个点
如果两个点的斜率小于

2asum[i]2asum[i] $2asum[i]$ ，决策

jj $j$ 就比决策

k

$k$ 优
然后我们发现

aa $a$ 是负的，

s u m [i]

$sum[i]$ 是单增的，所以

2asum[i]2asum[i] $2asum[i]$ 是单减的
所以我们在单调队列里面维护的实际上是一个上凸壳

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cmath>
#define LL long long
#define LB long double
#define x first
#define y second
#define Pair pair<int,int>
#define pb push_back
#define pf push_front
#define mp make_pair
#define LOWBIT(x) x & (-x)
using namespace std;

const int MOD=998244353;
const LL LINF=2e16;
const int INF=1e9;
const int magic=348;
const double eps=1e-10;

inline int getint()
{
    char ch;int res;bool f;
    while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
    if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
    while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
    return f?res:-res;
}

int n;
LL a,b,c;
LL aa[1000048],sum[1000048];
LL dp[1000048];

struct node
{
    LL x,y;
    int ind;
};
inline double calc(int x,int y)
{
    return double(dp[x]+a*sum[x]*sum[x]+b*sum[y]-(dp[y]+a*sum[y]*sum[y]+b*sum[x]))/(sum[x]-sum[y]);
}

int head,tail;int q[1000048];

int main ()
{
    int i;
    n=getint();
    a=getint();b=getint();c=getint();
    for (i=1;i<=n;i++) aa[i]=getint(),sum[i]=sum[i-1]+aa[i];
    head=tail=1;q[head]=0;
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        while (head<tail && calc(q[head],q[head+1])>(long long)2*a*sum[i]) head++;
        int pos=q[head];
        dp[i]=dp[pos]+a*(sum[i]-sum[pos])*(sum[i]-sum[pos])+b*(sum[i]-sum[pos])+c;
        q[++tail]=i;
        while (head+1<tail && calc(q[tail-2],q[tail-1])<calc(q[tail-1],q[tail])) q[tail-1]=q[tail],tail--;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}