Description
有两个长度为n的排列A和B,定义排列的价值f(A,B)为所有满足A[i]>B[i]的位置i的数量。
现给出n,A,B和S,其中A和B中有一些位置的数未知,问有多少种可能的填数的方案使得f(A,B)=S
Solution
先把原序列拆成两个,一个a全为0,一个b全为0,俩都不为0的直接计算删掉,
看到这种题考虑先计算>=S的,再减掉>=S+1的,
计算>=k的简单,直接强制k位是有贡献的,DP即可,
设fi,j表示做到i,强制选了j个数,(r为有多少个数放在位置i有贡献)
fi,j=fi−1,j+fi−1,j−1∗(r−(j−1))
做完以后,减的时候发现要乘上一个系数,但这样又减多了,所以要容斥一下,
即:(fi为强制选i位,Ansx即为总贡献恰好为x的方案数)
Ansx=∑i=xn(−1)i−x∗Cxi∗fx
(举一个n=3的例子就很容易理解了)
最后再把两半拼起来即可,
复杂度:O(n2)
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=4050,mo=1e9+7;
int read(int &n)
{
char ch=' ';int q=0,w=1;
for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n;
LL ans;
struct qqww
{
int a,b;
}a[N];
int b[N][2],c[N];
int z[N];
LL Ans[N],jc[N],jcn[N];
LL f[N];
bool PX(qqww q,qqww w){return q.a<w.a||(q.a==w.a&&q.b<w.b);}
LL C(int m,int n){return jc[m]*jcn[n]%mo*jcn[m-n]%mo;}
LL ksm(LL q,int w)
{
LL ans=1;
for(;w;w>>=1,q=q*q%mo)if(w&1)ans=ans*q%mo;
return ans;
}
void DP(int n)
{
int q;
fo(i,1,n)c[i]=b[i][1];
q=1;
fo(i,1,n)
{
for(;c[i]>=b[q][0]&&q<=n;q++);
c[i]=q;
}c[n+1]=1e9;
memset(f,0,sizeof(f));
f[0]=1;q=0;
fo(i,1,n)
{
for(;c[q+1]<=i;q++);
fod(j,i,1)
{
f[j]=(f[j]+f[j-1]*(LL)(q-j+1))%mo;
}
}
fo(i,0,n)f[i]=f[i]*jc[n-i]%mo;
}
int main()
{
int q;
read(n),read(m);
fo(i,1,n)read(a[i].a);
fo(i,1,n)read(a[i].b);
jc[0]=1;fo(i,1,n+1)jc[i]=jc[i-1]*(LL)i%mo;
jcn[n+1]=ksm(jc[n+1],mo-2);fod(i,n,0)jcn[i]=jcn[i+1]*(LL)(i+1)%mo;
sort(a+1,a+1+n,PX);
fo(i,1,n)
{
if(a[i].a&&a[i].b)m-=a[i].a>a[i].b;
if(a[i].a)z[a[i].a]=1;
}
fo(i,1,n)if(!z[i])b[++b[0][0]][0]=i;
fo(i,1,b[0][0])b[i][1]=a[i].b;
DP(b[0][0]);
fo(i,0,m)
{
fo(j,i,n)
{
if((j-i)&1)Ans[i]=(Ans[i]-f[j]*C(j,i))%mo;
else Ans[i]=(Ans[i]+f[j]*C(j,i))%mo;
}
}
q=0;
fo(i,1,n)if(a[i].a&&!a[i].b)b[++q][0]=a[i].a;
fo(i,1,n)if(a[i].b)z[a[i].b]=2;
b[0][0]=0;
fo(i,1,n)if(z[i]!=2)b[++b[0][0]][1]=i;
DP(b[0][0]);
ans=0;
fo(i,0,m)
{
LL t=0;
fo(j,i,n)
{
if((j-i)&1)t=(t-f[j]*C(j,i))%mo;
else t=(t+f[j]*C(j,i))%mo;
}
ans=(ans+(LL)Ans[m-i]*t)%mo;
}
printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);
return 0;
}