本文介绍如何使用线段树解决涉及单调栈的问题。通过优化查找过程，确保了算法的时间效率。适用于需要快速查询单调栈中特定元素值的场景。
例题
给出一个序列，这个序列的每个位置有两个值 a i , f i a_i,f_i ai,fi，每次询问一个区间，把这个区间的所有数以a为关键字，从左到右做一个单调递减的栈，求这个单调栈中的元素的f值的最小值。
【JZOJ 5402】【NOIP2017提高A组模拟10.8】God Knows（代码在这里）
讲解
在遇到此类的问题可以用线段树来搞，
先来考虑一个比较原始的方法：
设函数
f
i
n
d
(
l
,
r
,
P
)
find(l,r,P)
find(l,r,P) 表示线段树l,r这个区间，所有
a
i
a_i
ai大于P的位置组成的单调栈的
f
i
f_i
fi最小值为多少，（也就求出单调栈后再把小于等于P的数全部弹掉），
这样每次查询的答案就是
f
i
n
d
(
l
,
r
,
0
)
find(l,r,0)
find(l,r,0)
设rmx为当前区间的右边的区间的 最大的 a i a_i ai，（ max { a m i d + 1... r } \max\{a_{mid+1...r}\} max{amid+1...r}）
如果P>rmx，那么就是说右边的区间对答案没有影响（反正都会被弹掉），直接返回find(l,mid,P)，
否则，就必须返回
min
(
f
i
n
d
(
l
,
m
i
d
,
r
m
x
)
,
f
i
n
d
(
m
i
d
+
1
,
r
,
P
)
)
\min(find(l,mid,rmx),\ find(mid+1,r,P))
min(find(l,mid,rmx), find(mid+1,r,P))
很显然这样复杂度没有保证，
考虑优化，
设
l
v
=
f
i
n
d
(
l
,
m
i
d
,
r
m
x
)
lv=find(l,mid,rmx)
lv=find(l,mid,rmx)，这样上面的式子就变成了
min
(
l
v
,
f
i
n
d
(
m
i
d
+
1
,
r
,
P
)
)
\min(lv,\ find(mid+1,r,P))
min(lv, find(mid+1,r,P))
我们发现这样复杂度即可保证，因为求lv的复杂度也不过是
O
(
n
log
(
n
)
2
)
O(n\log(n)^2)
O(nlog(n)2),
而对于修改操作，每次修改完后在重新计算lv即可，
复杂度： O ( n log ( n ) 2 ) O(n\log(n)^2) O(nlog(n)2)
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
