GDKOI2016 题解

DAY1

P1.魔卡少女

抽象题意：动态维护一个区间内，所有的连续子串异或值和。

方法：很显然，我们可以想到用线段树来做，

于是我就花掉了整一场比赛的时间去搞这题

我们先开10*2+1+1棵线段数$(a_i<=1000)$,每棵线段树所代表的线段数区间X的
所有前缀异或值的二进制的第i位分别为0和1的个数：bl[X][i][0,1]，
以及所有后缀异或值的二进制的第i位分别为0和1的个数：br[X][i][0,1]，
和当前区间所有数的异或值：B[X],，
和当前区间内的所有子串的异或值的和：b[X]。

假设我们已经得出了2个连续的线段数区间l和r，现在，我们把它们合并成一个大的区间q，很显然：
b[q]=b[l]+b[r]+跨越两个小区间的子串异或和

那 跨越两个小区间的子串异或和 怎么算哪？

很显然，跨越两个小区间的子串异或和=$(br[l][i][0]*bl[r][i][1]+br[l][i][1]*bl[r][i][0])*2^i$
转移bl和br时注意一下即可。

PS:可能需要卡常数

优化：
易证，已知当前区间的元素个数和前(后)缀的0(1)的个数，可以直接算出1(0)的个数，这样可以减小常数

T2.不稳定的传送门

抽象题意：给出概率和花费，求最优花费期望值

这题有一个奇怪的贪心，
设f[i]为终点到当前点的距离
那我们就要求在最优的顺序下(不同的顺序下期望值会不同)到达当前点的最小期望值，
又长又臭，不想打，上连接

T3.宝藏

抽象题意：给出依赖关系，求最小的∑ai/∑bi

先科普下01分数规划
但是这题有一个奇怪的依赖关系，于是

栋爷说得对：这些奇怪的依赖关系的题，很多都是用网络流做

我们知道，之所以要花上这么的力气去开很多门，就是为了打开依赖门，得到更优的方案，

So，依赖点向被依赖点连一条边，

一个点，如果它在01分数规划中的值为正数，那么它可以流过的量就为这个值并向S连一条边；如为负数，那么它可以流过的量就为(-这个值)并向T连一条边，
因为如果它的值大于0，那么它对答案有贡献，反之会拖累答案，
然后跑一遍网络流，
因为网络流是跑不出负数的，所以当跑出来的最小割结果为0，那么答案就要往上升，反之就要下降，（自己YY一下就可证明）

T4.地图

抽象题意：给出一个不完整的地图和几个必须联通的块，求合法的方案数

正解为插头DP，一脸懵逼。

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DAY 2

T1 染色大战

抽象题意：有两个人互相博弈，求两人的得分差

标准博弈论，加点小优化即可。

T2 QT与泰剧

抽象题意：求S-T中，为3的倍数并每位不全是质数的数有多少

标准数位DP，注意细节即可。

T3 项链

抽象题意：给出个环，求去除一段后的最大对称环的长度

把原串在后面复制一份后搞一下manachar，
因为所谓的对称串就是两个回文的串组成的，但长度一定要小于n(有大神当场用脚趾头想了一个反例)
设：j,i(j< i) 我们现在需要的是求满足（i-j<=n && j+f[j]>=i-f[i]）下的j的最小值

我们用线段树维护区间的i+f[i]最大值，这样我们就可以知道此区间是否有值合法，就可以继续往下找

T4 小学生数学题

抽象题意：求$\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i}$在模$p^k$下的答案