Codeforces 678E(Another Sith Tournament)

最新推荐文章于 2020-02-07 15:41:13 发布

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分类专栏：动态规划—概率dp

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划解决决斗存活概率问题的方法。通过倒序DP，从仅剩一人存活的情况出发，逐步向前推算，最终求得初始状态下一号选手的最大存活概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意:有n个人决斗(n<=18),每两个人之间都有一定几率杀死对方，一次进行一次决斗，胜利者成为擂主继续接受决斗直到只剩下一个人，你是一号，问你最大有多大几率存活到最后。

题目思路:看到n<=18一般都能想到状态压缩DP，但是当时并没有想到怎么转移状态，下来补题发现了一个好博客讲的很详细传送门

　　　　最后自己理解完后也讲一讲大致的思路首先一个二维DP数组 dp[1<<n|1][n] 一维的二进制数代表哪些人存活，二维代表当前第几号为擂主，而这道题关键就是要倒着DP

　　　　因为我们最后是让自己存活，所以边界条件是dp[1][0]=1；表示最后只有自己存活(当然自己就是擂主)，然后用这个边界去反推所有人都存活的时候，然后枚举第一个擂主，

　　　　选出最大值就是答案。

　　　　状态转移方程 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]*pic[k][j]+dp[i^(1<<k)][j]*pic[j][k]);

　　　　其中dp[i^(1<<j)][k]*pic[k][j]表示j是擂主的时候被k打败了，所以j死亡，i^(1<<j)

　　　　同理dp[i^(1<<k)][j]*pic[j][k]表示j是擂主时k挑战失败，所以k死亡，i^(1<<k)

　　　　因为是反着DP，所以这里需要慢慢理解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <climits>
#define lson root<<1,l,mid
#define rson root<<1|1,mid+1,r
#define fi first
#define se second
#define ping(x,y) ((x-y)*(x-y))
#define mst(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define mcp(x,y) memcpy(x,y,sizeof(y))
using namespace std;
#define gamma 0.5772156649015328606065120
#define MOD 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 100005
#define maxn 20005
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long LL;

int n,k;
double pic[20][20];
double dp[1<<18|1][20];

int main(){
    int i,j,group;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;++i)for(j=0;j<n;++j)scanf("%lf",&pic[i][j]);
    dp[1][0]=1;
    for(i=0;i<(1<<n);++i){
        for(j=0;j<n;++j)
        if(i&(1<<j))
        for(int k=0;k<n;++k){
            if(j==k||(!(i&(1<<k))))continue;
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]*pic[k][j]+dp[i^(1<<k)][j]*pic[j][k]);
        }
    }
    double flag=0;
    for(i=0;i<n;++i)
        flag=max(flag,dp[(1<<n)-1][i]);  ///所有人都存活时枚举第一个擂主
    printf("%.12f\n",flag);
    return 0;
}