高等数学笔记：幂级数

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#高等数学 #微积分 #级数

本文详细介绍了幂级数的概念、泰勒级数和麦克劳林级数的定义，探讨了收敛半径的求法，包括阿贝尔定理、柯西-阿达玛公式和根植法。此外，文章还涵盖了幂级数的性质分析，如线性和乘法运算法则，以及函数展成幂级数的方法，包括直接展开和间接展开。实例涵盖常见函数的幂级数展开，以及实际应用，如近似计算和推导欧拉公式。

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繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

幂级数

〇、函数项级数的基本概念

01 函数项级数

设 $)u_{n}(x)\ (n=1,2, \cdots)$ 是定义在数集 $X$ 上的函数列，称 $∑n=1∞un(x)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 为函数项级数。

02 收敛点

若 $∑n=1∞un(x0)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)$ 收敛，称 $x_{0}$ 是 $∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的一个收敛点。

03 发散点

若 $∑n=1∞un(x0)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)$ 发散，称 $x_{0}$ 是 $∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的一个发散点。

04 收敛域

$∑n=1∞un(x)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的全体收敛点组成的集合 $I$ 称为它的收敛域。

05 和函数

在收敛域的每个 $x$ ，记 $S(x)=∑n=1∞un(x)S(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 称为 $∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的和函数。

06 部分和(函数)

与数项级数类似， $Sn(x)=∑k=1nuk(x)S_{n}(x)=\sum \limits_{k=1}^{n} u_{k}(x)$ 称为 $∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的部分和(函数)。

07 部分和函数与和函数

在收敛域有 $x∈I\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=S(x)\ , \ x \in I$ .

08 函数项级数的余和

将 $rn(x)=∑k=n+1∞un(x)r_{n}(x)=\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} u_{n}(x)$ 称为函数项级数的余和，显然 $lim⁡n→∞rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} r_{n}(x)=0$ .

一、幂级数的基本概念

01 泰勒级数

形如 $约定(x−x0)0=1\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\cdots\ ,\ 约定 \left(x-x_{0}\right)^{0}=1$

的函数项级数称为 $x-x_0)$ 的幂级数或称为在 $x=x_0$ 处的泰勒级数， $a1,a2,⋯a_1,a_2,\cdots$ 称为系数。

注意， $∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $x_0$ 处为 $a_0$ 而非 $0$ 。

02 麦克劳林级数

特别地，当 $x_0=0$ 时， $约定x0=1\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots\ ,\ 约定 x^{0}=1$

称为 $x$ 的幂级数或称为在 $x = 0$ 处的麦克劳林级数。

03 收敛半径

幂级数 $∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_0)^{n}$ 的收敛仅有三种可能情况：

(1) 仅在 $x=x_0$ 收敛；

(2) 在以 $x_0$ 为中心的长度为 $2 R$ 的区间 $x_0-R,x_0+R)$ 绝对收敛，而在 $x-x_0|>R$ 发散；

(3) 在 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ 收敛。

三种情况可看作是以 $x_0$ 为中心的区间，区间长度的一半称为收敛半径，记作 $R$ 。

二、幂级数收敛半径的求法

01 阿贝尔定理

若幂级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=x_{0}$ 收敛，则当 $∣x∣<∣x0∣|x|<\left|x_{0}\right|$ ，级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 绝对收敛；

若幂级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=x_{0}$ 发散，则当 $∣x∣>∣x0∣|x|>\left|x_{0}\right|$ ，级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 发散。

02 柯西-阿达玛公式（比值法）

对幂级数 $∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_0)^{n}$ ，若有
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=R \ \ 或 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho \quad(\ \rho\ 可以是 +\infty)$
则对该幂级数的收敛情况有：
$\begin{aligned} & (1)\ 0<\rho<+\infty \ , \ R=\frac{1}{\rho} \ , \ 0<R<+\infty\\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & (2)\ \rho=+\infty \ , \ R=0\\ & \quad\quad 在\ x_0=x \ 处收敛，在\ x_0\neq x \ 处发散。 \\ & (3)\ \rho=0 \ , \ R=+\infty \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (-\infty,+\infty) \ 内绝对收敛。 \end{aligned}$

03 根植法

对幂级数 $∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_0)^{n}$ ，若有
$\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}=R \ \ 或 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\rho \quad(\ \rho\ 可以是 +\infty)$
则对该幂级数的收敛情况有：
$\begin{aligned} & (1)\ 0<\rho<+\infty \ , \ R=\frac{1}{\rho} \ , \ 0<R<+\infty\\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & (2)\ \rho=+\infty \ , \ R=0\\ & \quad\quad 在\ x_0=x \ 处收敛，在\ x_0\neq x \ 处发散。 \\ & (3)\ \rho=0 \ , \ R=+\infty \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (-\infty,+\infty) \ 内绝对收敛。 \end{aligned}$

三、幂级数的性质分析

01 收敛幂级数的性质

性质1（线性运算法则）

设 $∑n=0∞an(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_0)^n$ ，其收敛区间为 $x_0-R_1,x_0+R_1)\ , \ R_1>0$ ，

且 $∑n=0∞bn(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_{n}(x-x_0)^n$ ，其收敛区间为 $x_0-R_2,x_0+R_2)\ , \ R_2>0$ ，

则 $均为常数)\sum\limits_{n=0}^{\infty} [\alpha\cdot a_{n}+\beta\cdot b_{n}](x-x_0)^n=\alpha\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n+\beta\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n\ (\alpha,\beta\ 均为常数)$

其收敛区间为 $R⩾min⁡{R1,R2}(x_0-R,x_0+R)\ , \ R\geqslant\min\left\{R_1,R_2\right\}$ ，

性质2（乘法运算法则）

$∑n=0∞an(x−x0)n⋅∑n=0∞bn(x−x0)n=∑n=0∞cn(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n$ ，

其中 $cn=∑i=0∞aibn−ic_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_ib_{n-i}$ ，收敛半径是 $R=min⁡{R1,R2}R=\min\left\{R_1,R_2\right\}$

02 收敛区间上收敛幂级数的性质

以麦克劳林级数为例

性质1：连续性

若幂级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，则其和函数 $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内处处连续，

即 $∀x0∈(−R,R)\forall x_0\in(-R, R)$ 时， $lim⁡x→x0S(x)=S(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_0}S(x)=S(x_0)$ 或 $lim⁡x→x0∑n=0∞anxn=∑n=0∞anx0n=∑n=0∞lim⁡x→x0anxn\lim \limits_{x \rightarrow x_0}\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x_0^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\lim \limits_{x \rightarrow x_0}a_{n} x^{n}$ ；

若级数在收敛域的端点 $x = R$ (或 $- R$ ) 也收敛，则和函数 $S (x)$ 在 $x = R$ (或 $- R$ ) 单侧连续。

一句话总结：和的极限等于极限的和。

性质2：可导性（逐项可导）

若幂级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，则其和函数 $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 可导；且有：
$\begin{aligned} & \frac{d}{dx}S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}(a_{n} x^{n})=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\\ & S^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}\\ \end{aligned}$
而级数 $∑n=1∞nanxn\sum \limits_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}$ 的收敛区间仍为 $(- R, R)$ ，收敛半径仍为 $R$ 。（更加精彩！）
一句话总结：和的导数等于导数的和。

推论：逐项可导性的 $k$ 阶导推广
$\frac{d^k}{dx^k}S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^k}{dx^k}(a_{n} x^{n})=\sum_{n=k}^{\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1)\cdot a_{n} x^{n-k}$

性质3：可积性（逐项可积）

若幂级数 $∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，则其和函数 $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 内的任何区间可积；

且对 $∀x∈(−R,R)\forall x\in(-R,R)$
$\int_{0}^{x} S(t) d t=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$

推论：幂级数在收敛区间上任意次可积，且等于逐项积分，并有收敛区间不变。

性质补充（不常用）

若 $[a,b]⊂(−R,+R)[a,b]\subset(-R,+R)$ ， $∫abS(x)dx=∫ab∑n=0∞anxndx=∑n=0∞an∫abxndx=∑n=0∞ann+1(bn+1−an+1)\int_{a}^{b}S(x)dx=\int_{a}^{b}\sum\limits_{n=0}^{\infty} {a_nx^n}dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\int_{a}^{b} {x^n}dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})$ .

四、两个重要幂级数的分析

求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数
$1.\ \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}\quad\quad\quad\quad\quad2. \ \sum \limits_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}$

五、函数展成幂级数

01 函数展成幂级数的直接展开

(1) 函数展成幂级数的直接展开推导

① $n$ 阶展开

若 $f (x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内存在 $(n + 1)$ 阶导数，则 $f (x)$ 在 $x=x_0$ 处可以展成 $n$ 阶泰勒公式，即
$\begin{aligned} & f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)\\ & R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(\xi\right)}{(n+1)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \ , \ \ \xi\ 介于\ x_0,x\ 之间 \end{aligned}$
② 任意阶展开

若 $f (x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内存在任意阶导数，上述泰勒公式对任意 $n$ 的等式都成立，对其两边取极限
$\begin{aligned} & \lim \limits_{n \rightarrow \infty}f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)]\\ & \quad\quad =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[\ (f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n})+R_{n}(x)\ ]\\ \end{aligned}$
③ 泰勒收敛

要求 $lim⁡n→∞[f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n]=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}]=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 极限存在即收敛

④ 余项收敛

求出 $∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 的收敛区间 $x_0-R,x_0+R)$ ，即 $lim⁡n→∞Pn(x)\lim \limits_{n \rightarrow \infty}P_n(x)$ 存在，

则 $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ ，当 $x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)$ 时，可得 $lim⁡n→∞Rn(x)\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)$ 存在。

⑤ 余项表示

当 $x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)$ 时， $lim⁡n→∞Rn(x)=lim⁡n→∞[f(x)−Pn(x)]=f(x)−∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[f(x)-P_n(x)]=f(x)-\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$

(2) 定理：函数与对应幂级数相等的充要条件

当 $x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)$ 时， $f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 的充要条件是 $lim⁡n→∞Rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0$ 。

说明 $f (x)$ 并非总是等于它的泰勒级数。

(3) 将 $f (x)$ 展成泰勒幂级数的步骤

① 求出 $n=0,1,2,⋯f^{(n)}(x_0)\ ,\ n=0,1,2,\cdots$

② 写出 $f (x)$ 的泰勒级数， $∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$

③ 求出上述级数的收敛区间 $x_0-R,x_0+R)$

④ 验证当 $x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)$ 时， $lim⁡n→∞Rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0$

⑤ $x∈(x0−R,x0+R)f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\ ,\ x\in(x_0-R,x_0+R)$

上述表达式称为将 $f (x)$ 展成泰勒级数的直接展开。

特别地，当 $x_0=0$ 时，上述表达式称为将 $f (x)$ 展成麦克劳林级数的直接展开。

(4) 将 $f (x)$ 直接展成麦克劳林幂级数示例

$f(x)=e^x$ 的麦克劳林级数展开
$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty)$
$f(x)=(1+x)αf(x)=(1+x)^{\alpha}$ 的麦克劳林级数展开
$(1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{n !} x^{n} \quad , \ x\in(-\infty,+\infty)\ , \ (\alpha\neq0，常数)$
$f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x$ 的麦克劳林级数展开
$\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty)$

02 函数展成幂级数的间接展开

(1) 将 $f (x)$ 直接展成麦克劳林幂级数示例

$f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x$ 的麦克劳林级数展开

对 $f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x$ 的展开式两边求导
$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty)$
$f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x}$ 的麦克劳林级数展开

将展开看作等比级数求和函数的逆运算
$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\ x^n\quad , \ x\in(-\infty,+\infty)$
$f(x)=11+xf(x)=\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林级数展开

将展开看作等比级数求和函数的逆运算
$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n x^n\quad , \ x\in(-\infty,+\infty)$
$f(x)=\ln{(1+x)}$ 的麦克劳林级数展开

对 $f(x)=11+xf(x)=\frac{1}{1+x}$ 的展开式两边积分： $ln⁡(1+x)=∫0x11+xdx\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}dx$
$\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty)$

03 函数展成幂级数的四大法宝

(1) 对 $f (x)$ 用线性运算法则化成简单函数的线性组合。

(2) 变量代换

(3) 先对 $f (x)$ 求导，将 $f^{'} (x)$ 展开，再还原，两边积分⭐

看到反三角函数首先想到求导，展开，再积分

(4) 先积分展开，再两边求导（用的不多）

大家掌握了把函数展成麦克劳林级数，如果要求 $f (x)$ 展成 $x-x_0)$ 的幂级数，

$f(x)=(x−x0=t)=f(x0+t)=∑n=0∞antn=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=(x-x_0=t)=f(x_0+t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nt^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$

04 函数幂级数唯一性定理

唯一性定理（函数的幂级数形式惟一）：

若 $(δ>0)S(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\ , \ x_0\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(x_0-R,x_0+R)\ (\delta>0)$ ，则必有
$a_n=\frac{S^{(n)}(x)}{n!}\quad n=0,1,2,\cdots$
推论：

若 $(δ>0)\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n\ , \ x_0\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\ (\delta>0)$ ，则 $n=0,1,2,⋯a_n=b_n\ \ ,\ \ n=0,1,2,\cdots$

五、常用初等函数的幂级数

常用初等函数的幂级数
$\begin{aligned} &(1)\ \ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+ \cdots +\frac{x^{n}}{n !}+ \cdots =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(2)\ \ \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}- \cdots +(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(3)\ \ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}- \cdots +(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(4)\ \ \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(5)\ \ (1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+ \cdots +\frac{m(m-1) \cdots (m-n+1)}{n !} x^{n}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ \end{aligned}$
利用以上幂级数展开式可求其他一些初等函数的幂级数展开式。

六、幂级数的应用举例

近似计算
- 计算 $π\pi$ 的近似值
计算积分
- 计算积分 $∫01ex−1xdx\int_{0}^{1} \frac{e^{x}-1}{x} d x$
利用幂级数推导欧拉公式
- 利用幂级数，可以推出欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$
- 取 $x=πx=\pi$ ， $eiπ=−1⇒eiπ+1=0(数学中最美的等式)e^{i \pi}=-1 \Rightarrow e^{i \pi}+1=0\quad(数学中最美的等式)$