高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第二节-数列极限的性质与运算法则

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本文详细介绍了高等数学中数列极限的性质，包括唯一性、有界性、保号性、保序性和保不等式性，并通过实例解释了这些性质。此外，还探讨了数列极限的运算法则，如加减乘除和开方运算，以及多项式除法的特定情况。内容深入浅出，有助于理解数列极限的概念及其应用。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章极限与连续

第二节数列极限的性质与运算法则

一、性质

01 唯一性

$lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞xn=B⇒A=B\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=B$

02 有界性

$lim⁡n→∞xn=A⇒∃M>0:∣xn∣<M(∀n∈N+)\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M \quad\left(\forall n \in \mathbf{N}_{+}\right)$

03 保号性

表述01
- $lim⁡n→∞xn=A>0⇒∃N∈N+:∀n>N,xn>A2\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}$
表述02（同济版）
- 若 $lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0$ ，那么 $∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}>0$
- 若 $lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0$ ，那么 $∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}<0$
表述03
- 若 $lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0$ ，那么 $∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (0,A) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}>A'$
- 若 $lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0$ ，那么 $∀A′∈(A,0),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (A,0) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}<A'$
保号性结论本身不涉及等于0的情况
- 保的既然是”号“，那么就与 0 无关了
- 考虑两个数列： $−1n-\frac1n$ 和 $1n\frac1n$ ，两数列极限均为0，但一个恒正，一个恒负
保号性的推论
- 对表述02-②取逆否命题
- $lim⁡n→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0$
- 问题条件中 $xn≥0x_{n} \geq 0$ 改为 $x > 0$ , 结论能否 $A > 0$ ?
  - 改为 $x_{n}>0$ ，结论并不是 $A > 0$

04 保序性

若 $lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A$ 与 $lim⁡n→∞yn=B\lim \limits_{n\rightarrow \infty} y_{n}=B$ ，且 $A > B$ ，则 $∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}>y_{n}$
极限的大小顺序保证了函数的大小顺序
极限大的，数列有无穷项更大
保序性结论本身也不涉及相等的情况
- 保的既然是”序“，那么相等就没有次序可言了
- 考虑两个数列： $−1n-\frac1n$ 和 $1n\frac1n$ ，两数列极限均为0，但一个恒正，一个恒负
保序性的推论
- 当 $y_{n}=0$ 时
- 若 $lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A>0$ ，则 $∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}>0$ ① ，同样地，
- 若 $lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n\rightarrow \infty} x_{n}=A<0$ ，则 $∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N_{+},\forall n > N,$ 有 $x_{n}<0$ ②
- 对②取逆否命题
  - $lim⁡n→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0$
  - 此即保号性的推论，殊途同归

05 保不等式性

$xn≥yn,lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞yn=B⇒A≥Bx_{n} \geq y_{n}, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow A \geq B$
函数的不等式保证了极限的不等式
原来大的，极限也大
保不等式性结论本身允许相等的情况
- 保的既然是”不等式“，那么相等和不相等都应该包含

06 归并性

子列
- 数列 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 中的无穷项, 它们下标依次为 $n1<n2<⋯<nk<⋯n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdots$ ，则称数列 $,xnk,⋯x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdots, x_{n_{k}}, \cdots$ 为 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 的子列, 记为 ${xnk}\left\{x_{n_{k}}\right\}$
$lim⁡n→∞xn=A⇔∀{xnk}⊂{xn}:lim⁡k→∞xnk=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=A$
命题常应用于说明极限不存在
- 例如： $x_{n}=(-1)^{n}$

07 合并性

我自己起的名字：奇偶子列极限同为A <=> 数列极限为A
$lim⁡k→∞x2k−1=A\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{2 k-1}=A$ 且 $lim⁡k→∞x2k=A⇔lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=A \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$

二、运算法则

01 加减法

$lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞yn=B⇒lim⁡n→∞(xn±yn)=A±B\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \quad \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B$

02 乘法

$lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞yn=B⇒lim⁡n→∞xnyn=AB\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B$
推论 (幂)
- $lim⁡n→∞xn=A,⇒lim⁡n→∞xnm=Am\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{m}=A^{m}$

03 除法

$lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞yn=B≠0⇒lim⁡n→∞xnyn=AB\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}$

04 开方运算

$)\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[m]{x_{n}}=\sqrt[m]{A} \quad\left(\begin{array}{l} x_{n} \geq 0 \text { 时, }\left.m \in\right|_{x_{+}} \\ x_{n}<0 \text { 时, } m \text { 为奇数 } \end{array}\right)$

05 多项式除法

小结论
- $lim⁡n→∞a0nm+a1nm−1+⋯+amb0nk+b1nk−1+⋯+ak={a0b0m=k0m<k∞m>k\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{0} n^{m}+a_{1} n^{m-1}+\cdots+a_{m}}{b_{0} n^{k}+b_{1} n^{k-1}+\cdots+a_{k}}= \begin{cases}\frac{a_{0}}{b_{0}} & m=k \\ 0 & m<k \\ \infty & m>k\end{cases}$

最后

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