高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第二节-数列极限的性质与运算法则

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于 2022-04-23 15:30:37 首次发布

本文详细介绍了高等数学中数列极限的性质，包括唯一性、有界性、保号性、保序性和保不等式性，并通过实例解释了这些性质。此外，还探讨了数列极限的运算法则，如加减乘除和开方运算，以及多项式除法的特定情况。内容深入浅出，有助于理解数列极限的概念及其应用。

                    
                        
                    
                    高等数学笔记-乐经良老师 
第二章 极限与连续 
第二节 数列极限的性质与运算法则 
一、性质 
01 唯一性 
lim⁡n→∞xn=A,lim⁡n→∞xn=B⇒A=B\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=Bn→∞lim​xn​=A,n→∞lim​xn​=B⇒A=B
 
02 有界性 
lim⁡n→∞xn=A⇒∃M>0:∣xn∣<M(∀n∈N+)\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M \quad\left(\forall n \in \mathbf{N}_{+}\right)n→∞lim​xn​=A⇒∃M>0:∣xn​∣<M(∀n∈N+​)
 
03 保号性 
表述01 
  lim⁡n→∞xn=A>0⇒∃N∈N+:∀n>N,xn>A2\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}n→∞lim​xn​=A>0⇒∃N∈N+​:∀n>N,xn​>2A​
 
表述02（同济版） 
  若 lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞lim​xn​=A>0​ ，那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>0x_{n}>0xn​>0​
若 lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞lim​xn​=A<0​ ，那么 ∃N∈N+,∀n>N,\exists N \in N^{+},\forall n > N,∃N∈N+,∀n>N, 有 xn<0x_{n}<0xn​<0​
 
表述03 
  若 lim⁡n→∞xn=A>0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0n→∞lim​xn​=A>0 ，那么 ∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N,\forall A' \in (0,A) , \exists N \in N^{+},\forall n > N,∀A′∈(0,A),∃N∈N+,∀n>N, 有 xn>A′x_{n}>A'xn​>A′
若 lim⁡n→∞xn=A<0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A<0n→∞lim​x

                

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章极限与连续

第二节数列极限的性质与运算法则

一、性质

01 唯一性

02 有界性

03 保号性

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第二章 极限与连续

第二节 数列极限的性质与运算法则

一、性质

01 唯一性

02 有界性

03 保号性

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第二节数列极限的性质与运算法则