高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第二节-数列极限的性质与运算法则

高等数学笔记-乐经良老师

第二章 极限与连续

第二节 数列极限的性质与运算法则

一、性质

01 唯一性

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=B\Rightarrow A=B$

02 有界性

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A\Rightarrow \exists M>0:\left|x_n\right|<M\left(\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}\right)$

03 保号性

• 表述01
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A>0\Rightarrow \exists N\in {\mathbf{N}}_{+}:\forall n>N,x_n>\frac{A}{2}$
• 表述02（同济版）
  • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A>0$​ ，那么 $\exists N\in N^{+},\forall n>N,$ 有 $x_n>0$​
  • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A<0$​ ，那么 $\exists N\in N^{+},\forall n>N,$ 有 $x_n<0$​
• 表述03
  • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A>0$ ，那么 $\forall A^{\prime }\in (0,A),\exists N\in N^{+},\forall n>N,$ 有 $x_n>A^{\prime }$
  • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A<0$​ ，那么 $\forall A^{\prime }\in (A,0),\exists N\in N^{+},\forall n>N,$​ 有 $x_n<A^{\prime }$​
• 保号性结论本身不涉及等于0的情况
  • 保的既然是”号“，那么就与 0 无关了
  • 考虑两个数列：$-\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n}$，两数列极限均为0，但一个恒正，一个恒负​
• 保号性的推论
  • 对表述02-②取逆否命题
  •  若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 lim⁡n→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0 若对于 {xn​},∃N∈N+​:当 n>N 时, xn​≥0, 且 n→∞lim​xn​=A⇒A≥0​​
  • 问题 条件中 $x_n\ge 0$ 改为 $x>0$, 结论能否 $A>0$ ?
    • 改为 $x_n>0$，结论并不是 $A>0$

04 保序性

• 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$​​​​ 与 $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B$​​​​，且 $A>B$​​​​​ ，则 $\exists N\in N_{+},\forall n>N,$​​​ 有 $x_n>y_n$​​​
• 极限的大小顺序保证了函数的大小顺序
• 极限大的，数列有无穷项更大
• 保序性结论本身也不涉及相等的情况
  • 保的既然是”序“，那么相等就没有次序可言了
  • 考虑两个数列：$-\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{n}$​，两数列极限均为0，但一个恒正，一个恒负
• 保序性的推论
  • 当 $y_n=0$ 时
  • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A>0$​ ，则 $\exists N\in N_{+},\forall n>N,$​ 有 $x_n>0$​​​ ① ，同样地，​
  • 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A<0$​​ ，则 $\exists N\in N_{+},\forall n>N,$​​ 有 $x_n<0$ ②​​​
  • 对②取逆否命题
    •  若对于 {xn},∃N∈N+:当 n>N 时, xn≥0, 且 lim⁡n→∞xn=A⇒A≥0\text { 若对于 }\left\{x_{n}\right\}, \quad \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \text {当 } n>N \text { 时, } x_{n} \geq 0 \text {, 且 }\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0 若对于 {xn​},∃N∈N+​:当 n>N 时, xn​≥0, 且 n→∞lim​xn​=A⇒A≥0
    • 此即保号性的推论，殊途同归

05 保不等式性

• $$x_n\ge y_n,\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B\Rightarrow A\ge B$$​
• 函数的不等式保证了极限的不等式
• 原来大的，极限也大
• 保不等式性结论本身允许相等的情况
  • 保的既然是”不等式“，那么相等和不相等都应该包含

06 归并性

• 子列
  • 数列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 中的无穷项, 它们下标依次为 $n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ ，则称数列 $x_{n_1},x_{n_2},\cdots ,x_{n_k},\cdots$ 为 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​} 的子列, 记为 {xnk}\left\{x_{n_{k}}\right\}{xnk​​}
• lim⁡n→∞xn=A⇔∀{xnk}⊂{xn}:lim⁡k→∞xnk=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=An→∞lim​xn​=A⇔∀{xnk​​}⊂{xn​}:k→∞lim​xnk​​=A
• 命题常应用于说明极限不存在
  • 例如：$x_n=(-1{)}^n$

07 合并性

• 我自己起的名字：奇偶子列极限同为A <=> 数列极限为A
• $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k-1}=A$ 且 $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k}=A\iff \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$

二、运算法则

01 加减法

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }\left(x_n\pm y_n\right)=A\pm B$​

02 乘法

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=AB$​

• 推论 (幂)

  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n^m=A^m$

03 除法

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B\ne 0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$

04 开方运算

• ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A\Rightarrow {\lim }_{n\to \infty }\sqrt[m]{x_n}=\sqrt[m]{A}\left(\begin{array}{l}{x}_n\ge 0\text{ 时, }{m\in |}_{x_{+}}\\ x_n<0\text{ 时, }m\text{ 为奇数 }\end{array}\right)$

05 多项式除法

• 小结论
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_0{n}^m+a_1{n}^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0{n}^k+b_1{n}^{k-1}+\cdots +a_k}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{b_0}& m=k\\ 0& m<k\\ \infty & m>k\end{array}$

最后

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