《微积分：一元函数积分学》——反常积分的计算与敛散性判别

原创于 2019-08-07 20:18:57 发布 · 6k 阅读

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本文探讨了无穷区间及无界函数上的反常积分概念，详细解析了其收敛性的判断条件，包括无穷区间的反常积分在特定条件下的收敛与发散，以及无界函数在奇点处的反常积分行为。

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一、定义

【无穷区间上的反常积分】

$(1){\int_{a}^{\infty}}f(x)dx= \lim_{b\rightarrow +\infty}{\int_{a}^{b}}f(x)dx$

$(2){\int_{-\infty}^{b}}f(x)dx= \lim_{a\rightarrow -\infty}{\int_{a}^{b}}f(x)dx$

$(3){\int_{-\infty}^{+\infty}}f(x)dx={\int_{-\infty}^{c}}f(x)dx+{\int_{c}^{+\infty}}f(x)dx$

右边的极限或反常积分存在，则收敛否则发散。

【无界函数的反常积分】

（1）b为瑕点

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx$

（2）a为瑕点

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx$

（3）c为瑕点

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

右边的极限或反常积分存在，则收敛否则发散。

二、结论

（1）无穷区间的反常积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p\leq 1$ 时发散

（2）无界函数的反常积分 $\int_{0}^{1}f(x)dx$ 奇点（x=0），在 $p<1$ 时收敛，在 $p\geq 1$ 时发散

（3) $\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{xln^{p}x}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p\leq 1$ 时发散。（可通过计算判别法进行求证）

（4） $\int_{0}^{1}\frac{lnx}{x^{a}}dx$ 在 $a<1$ 时收敛，在 $a\geq 1$ 时发散。（可通过比阶进行求证）

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