高等数学笔记：导函数与原函数关于函数性质的研究

繁星依月

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于 2022-04-21 16:17:20 首次发布

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这篇博客探讨了函数的奇偶性和周期性如何影响其导数和原函数的性质。对于奇函数，其导函数为偶函数，原函数为偶函数；偶函数的导函数则是奇函数，原函数不一定是奇函数，但存在一个特定原函数为奇函数。同时，周期函数的导函数同样具有周期性，而原函数可能不具备周期性，但通过调整可得到一个周期性的组合函数。证明过程基于微积分基本定理和奇偶运算法则。

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繁星数学随想录·笔记卷

专题卷

导函数与原函数关于函数性质的研究

此处给定前提条件为函数可积或可导，所以不讨论不可导不可积的情况。
设命题中提到的某一个函数为 $f (x)$ ，这个函数的导函数为 $f^{'} (x)$ ，它的某一个原函数是 $F (x)$ 。
设周期函数 $f (x)$ 的周期为 $T$ 。

一、关于奇偶性

01 命题描述

命题 JO-D
- 如果一个函数是奇函数，那么这个函数的导函数一定是偶函数；(1)
- 如果一个函数是偶函数，那么这个函数的导函数一定是奇函数。(2)
命题 JO-Y
- 如果一个函数是奇函数，那么这个函数的原函数一定是偶函数；(1)
- 如果一个函数是偶函数，那么这个函数的原函数不一定是奇函数。(2)
  
  推广1：如果这个函数是非零偶函数，那么这个函数的所有原函数中，
  
  存在一个原函数是奇函数，其他的原函数是非奇非偶函数。
  
  这个奇函数为 $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt$
  
  推广2：如果这个函数是零，那么这个函数的所有原函数中，
  
  存在一个原函数是偶函数，其他的原函数是非奇非偶函数。
  
  这个偶函数为 $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt$ ，即 $0$ 。

02 命题证明

命题 JO-Y
- 同济教材某习题命题
  
  若 $f (t)$ 是连续函数且为奇函数，证明 $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x} f(t) d t$ 是偶函数；
  
  若 $f (t)$ 是连续函数且为偶函数，证明 $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x} f(t) d t$ 是奇函数。
  
  证明如下：
- 由微积分基本定理， $F(x)All=∫0xf(t)dt+CF(x)_{All}=\int_{0}^{x}f(t)dt+C$ ， $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt$ 是 $f (x)$ 的一个原函数，
  
  当 $f (x)$ 是奇函数时， $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt$ 是偶函数；
  
  当 $f (x)$ 是偶函数时， $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt$ 是奇函数。
- 根据奇偶运算法则：偶＋偶＝偶，非0奇＋非0偶＝非奇非偶。
- 命题 JO-Y 得证。

二、关于周期性

01 命题描述

命题 Z-D
- 如果一个函数是周期函数，那么这个函数的导函数也是周期函数。
命题 Z-Y
- 如果一个函数是周期函数，那么这个函数的原函数不一定是周期函数。
  
  推广：如果函数 $f (x)$ 是周期函数，那么 $F(x)−∫0Tf(t)dtT⋅xF(x)-\frac{\int_{0}^{T}f(t)dt}{T}\cdot x$ 是周期函数。
  
  说明： $∫0Tf(t)dtT\frac{\int_{0}^{T}f(t)dt}{T}$ 实际上就是原函数中与 $x$ 无关的线性部分（常数或者一次项）。
  
  举例： $f(x)=cos⁡xF(x)=sin⁡x+100f(x)=\cos x\quad F(x)=\sin x+100$
  
  $f(x)=cos⁡x+100F(x)=sin⁡x+100xf(x)=\cos x+100\quad F(x)=\sin x+100x$

02 命题证明

给出命题Z-T：当 $f (x)$ 是以T为周期的周期函数时， $∫xx+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt\int_{x}^{x+T}f(t)dt=\int_{0}^{T}f(t)dt$ 成立。
给出命题Z-T的证明：
由微积分基本定理， $F(x)All=∫0xf(t)dt+CF(x)_{All}=\int_{0}^{x}f(t)dt+C$ ， $∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt$ 是 $f (x)$ 的一个原函数。

给出如下证明：