考研高数——反常积分敛散性的判别的两个重要结论

对于反常积分敛散性的判别，我们需要掌握两个重要结论，并能熟练地进行无穷小、无穷大比阶。¹

注意到：

$$\int \frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}=\frac{1}{p-1}\cdot e^{(1-p)\ln x}$$

有：

（1）无穷区间的反常积分 ${\int }_1^{\infty }(1/x^p)\mathrm{d}x$：在 $p>1$ 时收敛，在 $p⩽1$ 时发散。

• $\ln x在\left(1,\infty \right)$ 上恒正，
  • $\left(1-p\right)<0$ 时， ${\lim }_{x\to \infty }{e}^{(1-p)\ln x}=0$， 故收敛；
  • $p=1$ 时， $\frac{1}{p-1}$ 不存在，故发散；
  • $\left(1-p\right)>0$ 时， ${\lim }_{x\to \infty }{e}^{(1-p)\ln x}=\infty$， 故发散。

（2）无界函数的反常积分 ${\int }_0^1(1/x^p)\mathrm{d}x$：在 $p<1$ 时收敛，在 $p⩾1$ 时发散。

• $\ln x在\left(0,1\right)$ 上恒负，
  • $\left(1-p\right)>0$ 时， ${\lim }_{x\to 0}{e}^{(1-p)\ln x}=e^{-\infty }=0$， 故收敛；
  • $p=1$ 时， $\frac{1}{p-1}$ 不存在，故发散；
  • $\left(1-p\right)<0$ 时， ${\lim }_{x\to \infty }{e}^{(1-p)\ln x}=e^{+\infty }$，故发散。

LaText 公式²

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1. 《高数18讲P155》 ↩︎

2. LaText 语法参考来自StackExchange ↩︎