高等数学笔记：两个重要的级数分析

最新推荐文章于 2023-09-04 16:25:27 发布

野原星月

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本文详细分析了p-级数（p=1和p≠1）的敛散性，通过比较判别法证明了当p>1时级数收敛，p≤1时发散。同时，讨论了几何级数（等比级数）的敛散性，指出当|q|<1时级数收敛，|q|≥1时发散。这些结论对于理解级数理论和实际应用具有重要意义。

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繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

两个重要的级数分析

01 $p -$ 级数 $∑n=1∞1np\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$

$时发散。\begin{aligned} & 讨论:p-级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p=1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\ 。 \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad设\ f(x)=\frac1x \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n \leqslant x \leqslant n+1 \ , \ 则\ \frac{1}{n+1}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ \frac{1}{n+1}=\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx\ \leqslant \int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \leqslant\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n}\ dx=\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad因此\ 1\geqslant\int _{1}^{2}\frac1x\ dx \ , \ \frac12\geqslant\int _{2}^{3}\frac1x\ dx \ , \ \frac13\geqslant\int _{3}^{4}\frac1x\ dx \ , \ \cdots \ , \ \frac{1}{n-1}\geqslant\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx\ , \ \frac{1}{n}\geqslant\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ S_n=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} \geqslant \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{2}\frac1x\ dx+\int _{2}^{3}\frac1x\ dx+\int _{3}^{4}\frac1x\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx=\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{n+1}\frac1x\ dx=\left.\ln x\right|_{1} ^{n+1}=\ln(n+1)\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\geqslant\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln(n+1) \ , \ 显然\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n} \rightarrow +\infty \ , \ 级数发散。\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad另外 \ , \ 级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}发散，该级数称为调和级数 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p\neq1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ 。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p<1 \ , \ 有\ n^p<n\Rightarrow \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n} \ , \ 则\ S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n^p}>\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n}\ (调和级数) \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad由正项级数的比较判别法可知，级数发散。\\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p>1 \ , \ 设\ f(x)=\frac{1}{x^p} \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n^p \leqslant x^p \leqslant (n+1)^p \ , \ 则\ \frac{1}{(n+1)^p}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n^p} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ S_{n}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ \ (S_{n}\ 显然是递增数列)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\leqslant\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (其中，\frac{1}{1^p}\leqslant\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ 为第二\ p\ 广义积分且发散，故1项不进行放缩)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad<\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1+\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ \ (其中，\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ 为第一\ p\ 广义积分且收敛)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\ 有上界 \ , \ 级数收敛。\\ & 综上 \ , \ 对于\ p-级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \ , \ p>1\ 时收敛 \ , \ p\leqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned}$

02 几何级数 (等比级数) $∑n=1∞aqn−1\sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}$

$\begin{aligned} & 讨论:几何级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ |q|\neq1 \ , \ 则XXXXXXX。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ |q|<1 \ , \ 则 S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} aq^{n-1}=\frac{首项(1-公比^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q|^n)}{1-|q|}=\frac{a}{1-|q|}\ \ , \ 级数收敛。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ |q|>1 \ , \ 则 S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} aq^{n-1}=\frac{首项(1-公比^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q|^n)}{1-|q|}\rightarrow-\infty\ \ , \ 级数发散。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ |q|=1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ q=1 \ , \ 则 \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}=na\ \ , \ 级数发散。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ q=-1 \ , \ 则 \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}=\begin{cases}\ 0 \quad n=2m \\ \ a \quad n=2m+1 \end{cases} \ , \ 级数发散。 \\ & 综上 \ , \ 对于几何级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \ , \ |q|<1\ 时收敛 \ , \ |q|\geqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned}$