高等数学笔记：定积分换元谬误

繁星数学随想录·笔记卷

积分卷

定积分换元谬误

• 例题01

  • ${\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{3}dt$，令 $1-\cos t=a,t\in (0,2\pi ),t=\arccos (1-a),a\in (0,0)$

  • 由于 $\arccos x$ 函数的值域限制，即函数取不到 $2\pi$ ，所以该换元是不成立的

  • 以同济教材表述的换元积分法为例，同济表述：

    假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\phi (t)$ 满足条件：

    (1) $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$；🌟

    (2) $\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ (或 $[\beta ,\alpha ])$ 上具有连续导数，且其值域 $R_{\phi }=[a,b]$，则有：
    $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$
    上述公式称做定积分的换元公式。

  • 我们可以看出🌟条件是不满足的，从这个角度来说，换元积分法的前提不被满足。

• 例题02

  • ${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}dx$，令 $\sin x=t$，得到 ${\int }_{\sin 0}^{\sin \pi }\sqrt{1+t}dt$ .
  • 同理可得，自行分析。