高数强化NO17|二重积分|基本概念|计算方法|二重积分的计算

基本概念

$$\begin{array}{rl}& \text{设}f(x,y)\text{是有界闭区域}D\text{上的有界函数，将闭区域}D\text{任意分成}n\text{个小闭区域}\\ & \Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n\text{，其中}\Delta {\sigma }_i\text{表示第}i\text{个小闭区域，也表示它的面积微元。在每个闭区域}\\ & \Delta {\sigma }_i\text{上任取一点}({\xi }_i,{\eta }_i)\text{，并计算和式}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i\text{。如果各小闭区域的最大直径}d\text{趋}\\ & \text{于零时，}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i\text{的极限存在，则称该极限值为}f(x,y)\text{在区域}D\text{上的二重积分，}\\ & \text{记作}{\iint }_{D}f(x,y)dxdy\text{。}\\ & \\ & \text{注：二元函数的}z=f(x,y)\text{图像是三维空间中的一个曲面，当}f(x,y)\ge 0\text{时，}\\ & {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\text{表示以}D\text{为底，以该曲面为曲顶的曲顶柱体的体积。}\end{array}$$

基本性质

线性性质

$$\begin{array}{rl}& \text{设}\alpha ,\beta \text{为任意实数，则有}\\ & {\iint }_D\left[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\right]dxdy=\alpha {\iint }_{D}f(x,y)dxdy+\beta {\iint }_{D}g(x,y)dxdy\end{array}$$

关于区域的可加性

$$\begin{array}{rl}& \text{设}D\text{可分为}{D}_1\text{与}{D}_2\text{，其中}{D}_1\text{与}{D}_2\text{不相交且}{D}_1\cup D_2=D\text{，则有}\\ & {\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_1}f(x,y)dxdy+{\iint }_{D_2}f(x,y)dxdy\end{array}$$

常数的积分

$${\iint }_{D}1dxdy=A,\text{其中}A\text{为区域}D\text{的面积。}$$

比较定理

$$\begin{array}{rl}& \text{如果在}D\text{上恒有}f(x,y)\le g(x,y)\text{成立，则有}{\iint }_{D}f(x,y)dxdy\le {\iint }_{D}g(x,y)dxdy\text{。}\\ & \\ & \text{推论1：设}M,m\text{分别是函数}f(x,y)\text{在区域}D\text{上的最大值与最小值，}\sigma \text{是区域}D\text{的面}\\ & \text{积，则有}m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\le M\sigma \text{。}\\ & \\ & \text{推论2（二重积分中值定理）：设函数}f(x,y)\text{在有界闭区域}D\text{上连续，}\sigma \text{是区域}D\text{的}\\ & \text{面积，则在区域}D\text{上至少存在一点}(\xi ,\eta )\text{，使得}{\iint }_{D}f(x,y)dxdy=f(\xi ,\eta )\sigma \text{。}\end{array}$$

二重积分的计算方法

直角坐标系

$$\begin{array}{rl}& (1)\text{步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算。}\\ & \\ & (2)\text{确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分}\\ & \text{简单。}\\ & \\ & (3)\text{定限方法（以先对}y\text{积分的情况为例）：}\\ & (\text{i})\text{画一条与}y\text{轴平行的直线，观察这条直线}\\ & \text{与积分区域边界的两交点(如图)，下交点为下限，}\\ & \text{上交点为上限，即}{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\text{；}\\ & \\ & (\text{ii})\text{使得直线与积分区域有交点的}x\text{的范围便}\\ & \text{是积分变量}x\text{的上下限，即}{\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\text{。}\end{array}$$

极坐标

$$\begin{array}{rl}& (1)\text{转换公式}\\ & {\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho d\theta ;\\ & \\ & (2)\text{适用情形：积分区域为圆或与圆相关（扇形，环形等）；被积函数可写成}f(x^2+y^2)\\ & \text{或}\\ & \text{被积函数中出现}{x}^2+y^2\text{。}\\ & \\ & (3)\text{定限方法}\\ & (\text{i})\text{从原点出发画一条射线，观察这条射线与积分区域相交的部分，其中与原点距离}\\ & \text{最近的点与原点的距离即为}\rho \text{的下限，与原点距离最远的点与原点的距离即为}\rho \text{的上限：}\\ & {\int }_{{\rho }_1(\theta )}^{{\rho }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho ;\\ & \\ & (\text{ii})\text{使得射线与积分区域有交点的角度范围便是积分变量}\theta \text{的上下限，即}\\ & {\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\rho }_1(\theta )}^{{\rho }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho 。\end{array}$$

利用对称性

$$\begin{array}{rl}& (1)\text{设积分区域关于}x\text{轴对称，若被积函数是关于变量}y\text{的奇函数，则积分值为零；}\\ & \text{若被积函数是关于变量}y\text{的偶函数，则积分值等于第一二象限积分的两倍。}\\ & \\ & (2)\text{设积分区域关于}y\text{轴对称，若被积函数是关于变量}x\text{的奇函数，则积分值为零；}\\ & \text{若被积函数是关于变量}x\text{的偶函数，则积分值等于第一四象限积分的两倍。}\\ & \\ & (3)\text{特别地，如果积分区域关于两个坐标轴都对称，被积函数关于两个变量都是偶函}\\ & \text{数，则积分值等于第一象限内的积分的四倍。}\\ & \\ & (4)\text{轮换对称性：如果将积分区域}{D}_{xy}\text{的变量}x,y\text{交换之后的区域为}{D}_{yx}\text{，则有}\\ & {\iint }_{D_{xy}}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_{yx}}f(y,x)dxdy\text{，特别地，当}{D}_{xy}\text{关于直线}y=x\text{对称时，}{D}_{xy}=D_{yx}\text{，}\\ & \text{此时则有}{\iint }_{D_{xy}}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_{xy}}f(y,x)dxdy\text{。}\end{array}$$

对二重积分概念及性质的考查

$$\begin{array}{rl}& \text{解：设}A={\iint }_{D}f(x,y)dxdy,f(x,y)=xy+A(\text{其中}A\text{是一个常数})\\ & \\ & \text{两边同时在}D\text{上积分：}\\ & {\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}xydxdy+{\iint }_{D}Adxdy\\ & \\ & A={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x^2}xydy+A\cdot S_D\\ & ={\int }_0^{1}x\cdot \frac{x^4}{2}dx+\frac{A}{3}\\ & ={\int }_0^1\frac{x^5}{2}dx+\frac{A}{3}\\ & =\frac{1}{12}+\frac{A}{3}\\ & \\ & \text{解得}A=\frac{1}{8},\text{故}f(x,y)=xy+\frac{1}{8}\end{array}$$
$$【小结】二重积分是一个常数。$$

$$\begin{array}{rl}& J_1-J_2={\iint }_{D_1-D_2}(x-y{)}^{\frac{1}{3}}dxdy\\ & <0⟹J_1<J_2\\ & \\ & J_1-J_3={\iint }_{D_1-D_3}(x-y{)}^{\frac{1}{3}}dxdy\\ & >0⟹J_1>J_3\\ & \\ & \text{选B.}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】积分区域相同，被积函数不同，直接比较被积函数在积分区域上的大小关系。}\\ & \\ & \text{函数名相同，直接利用单调性比较；函数名不同，转化为不等式的证明问题。}\end{array}$$

二重积分的计算

$$\begin{array}{rl}& \text{解：由}\{\begin{array}{l}y=3x\\ x+y=8\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=2\\ y=6\end{array},\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x\\ x+y=8\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=6\\ y=2\end{array}\\ & \\ & \iint x^{2}dxdy={\int }_0^{2}dx{\int }_{\frac{1}{3}x}^{3x}{x}^{2}dy+{\int }_2^{6}dx{\int }_{\frac{1}{3}x}^{8-x}{x}^{2}dy\\ & \\ & ={\int }_0^2{x}^2\left(3x-\frac{1}{3}x\right)dx+{\int }_2^6{x}^2\left(8-x-\frac{1}{3}x\right)dx\\ & \\ & ={\int }_0^2{x}^2\cdot \frac{8}{3}xdx+{\int }_2^6{x}^2\left(8-\frac{4}{3}x\right)dx\\ & \\ & =\frac{8}{3}{\int }_0^2{x}^{3}dx+{\int }_2^6\left(8x^2-\frac{4}{3}{x}^3\right)dx\\ & \\ & =\frac{8}{3}\cdot {\frac{x^4}{4}|}_0^2+\left(\frac{8}{3}{x}^3-\frac{1}{3}{x}^4\right){|}_2^6\\ & \\ & =\frac{8}{3}\cdot 4+\left[\left(\frac{8}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 1296\right)-\left(\frac{8}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 16\right)\right]\\ & \\ & =\frac{32}{3}+\left[(576-432)-\left(\frac{64}{3}-\frac{16}{3}\right)\right]\\ & \\ & =\frac{32}{3}+\left(144-\frac{48}{3}\right)=\frac{32}{3}+\left(\frac{432}{3}-\frac{48}{3}\right)=\frac{416}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：设}\\ & D_1=\left\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,x\ge 0,y\ge 0\right\},\\ & D_2=\left\{(x,y)\mid 1<x^2+y^2\le \sqrt{2},x\ge 0,y\ge 0\right\}.\\ & \\ & \text{有}[1+x^2+y^2]=\{\begin{array}{ll}1,& (x,y)\in D_1,\\ 2,& (x,y)\in D_2.\end{array}\\ & \\ & {\iint }_{D}xy[1+x^2+y^2]dxdy={\iint }_{D_1}xy\cdot 1dxdy+{\iint }_{D_2}xy\cdot 2dxdy\\ & \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^1(r\cos \theta )(r\sin \theta )\cdot rdr+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_1^{\sqrt{\sqrt{2}}}(r\cos \theta )(r\sin \theta )\cdot 2rdr\\ & \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \sin \theta d\theta {\int }_0^1{r}^{3}dr+2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \sin \theta d\theta {\int }_1^{\sqrt{\sqrt{2}}}{r}^{3}dr\\ & \\ & ={\frac{1}{2}{\sin }^2\theta |}_0^{\frac{\pi }{2}}\cdot {\frac{r^4}{4}|}_0^1+2\cdot {\frac{1}{2}{\sin }^2\theta |}_0^{\frac{\pi }{2}}\cdot {\frac{r^4}{4}|}_1^{\sqrt{\sqrt{2}}}\\ & \\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2}{4}-\frac{1}{4}\right)\\ & \\ & =\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3}{8}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】}(1)\text{将直角坐标转化为极坐标时，不要忘记面积微元的转化公式}dxdy=rdrd\theta \\ & \text{中的}r\text{；}\\ & \\ & (2)\text{极坐标适用范围：积分区域为圆或与圆相关（扇形，环形等）的区域；被积函数可}\\ & \text{写为}f(x^2+y^2)\text{或被积函数中多次出现}{x}^2+y^2\text{时，可考虑通过极坐标计算；}\\ & \\ & (3)\text{确定}r\text{的上下限时，需要将直角坐标改写为极坐标，即将}x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta \text{代}\\ & \text{入积分区域}D\text{的表达式。}\end{array}$$