高数强化NO22|微分方程与差分方程|一阶微分方程|高阶微分方程|方程的求解

微分方程的基本概念

常微分方程

$$\begin{array}{rl}& \text{含有未知函数导数的方程称为微分方程. 其中，如果未知函数为一元函数，}\\ & 则称该方程为常微分方程.\end{array}$$

微分方程的阶

$$\begin{array}{rl}& \text{常微分方程的一般形式为}F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n)})=0.\text{其中未知函数的最高阶导数的}\\ & \text{阶数称为微分方程的阶. 求解微分方程的目的是要找出这样的函数}y=\phi (x)，\text{把它代入}\\ & \text{微分方程后方程}F(x,\phi (x),{\phi }^{\prime }(x),{\phi }^{\prime \prime }(x),\dots {\phi }^{(n)}(x))\equiv 0\text{成为恒等式.}\end{array}$$

通解和特解

$$\begin{array}{rl}& \text{如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数等于微分方程的阶数，这}\\ & \text{样的解称为微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数之后，就得到微分方程的特解.}\\ & \\ & \text{如果微分方程是一阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是}y(x_0)=y_0；\\ & \text{如果微分方程是二阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是}\\ & y(x_0)=y_0,y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }.\end{array}$$

常见的一阶微分方程

可分离变量的微分方程

$$\begin{array}{rl}& \text{如果一个一阶微分方程可以写成}g(y)dy=f(x)dx\text{的形式，则称该微分方程为可分}\\ & \text{离变量的微分方程.}\\ & \\ & \text{求解方法：对该方程的两端求不定积分}\int g(y)dy=\int f(x)dx\text{就得到微分方程的通解.}\end{array}$$

齐次方程

$$\begin{array}{rl}& \text{求解方法：对于方程}{y}^{\prime }=\phi \left(\frac{y}{x}\right)，\text{令}u=\frac{y}{x}，\text{则}y=ux.\text{由一元函数微分学的知识，可}\\ & \text{知}dy=xdu+udx.\text{代入原方程可得}x\frac{du}{dx}+u=\phi (u)，\text{整理得}\frac{du}{\phi (u)-u}=\frac{dx}{x}，\text{则原方程}\\ & \text{就化为可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数}u，\text{再由}y=ux\text{就可以得到未知}\\ & \text{函数}y.\end{array}$$

一阶线性微分方程

$$\begin{array}{rl}& \text{方程}\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\text{称为一阶线性微分方程.}\\ & \\ & \text{求解方法：}\\ & \text{法一：两边同时乘以}{e}^{\int P(x)dx}，\text{得}{e}^{\int P(x)dx}{y}^{\prime }+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}Q(x)，\text{其中}\\ & e^{\int P(x)dx}{y}^{\prime }+e^{\int P(x)dx}P(x)y={\left(e^{\int P(x)dx}y\right)}^{\prime }，\text{则}y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right].\\ & \\ & \text{法二：直接代通解公式：}y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right].\end{array}$$

伯努利方程

$$\begin{array}{rl}& \text{方程}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n,(n\ne 0,1)\text{称为伯努利方程.}\\ & \\ & \text{求解方法：}\\ & \text{对于伯努利方程}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n,(n\ne 0,1)，\text{通过变量代换化为一阶线性微分}\\ & \text{方程. 在方程两端同时除以}{y}^n\text{得}{y}^{-n}{y}^{\prime }+P(x)y^{1-n}=Q(x)，\text{令}z=y^{1-n}\text{可得}\\ & \frac{z^{\prime }}{1-n}+P(x)z=Q(x)，\text{即为一阶线性微分方程.}\end{array}$$

常见的高阶微分方程

二阶线性微分方程

1. 基本概念
   $$\begin{array}{rl}& \text{形如}\\ & y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)\\ & \text{的微分方程，称为二阶线性微分方程. 当}f(x)\equiv 0\text{时，即}\\ & y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0\\ & \text{称为二阶齐次线性微分方程；否则称为二阶非齐次线性微分方程.}\\ & \text{二阶线性微分方程的求解主要考查}P(x),Q(x)\text{恒为常数的情形，即二阶常系数线性微分方程，相应的齐次方程}\\ & \text{称为二阶常系数齐次线性微分方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为}\\ & y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0.\end{array}$$
2. 二阶线性微分方程解的结构定理
   $$\begin{array}{rl}& \text{定理1：若}{y}_1(x)\text{为方程（2）的解，则}k{y}_1(x)\text{亦为其解；若}{y}_1(x),y_2(x)\text{均为（2）的解，}\\ & \text{则}y=y_1(x)+y_2(x)\text{亦为其解，进而}y=k_1{y}_1(x)+k_2{y}_2(x)\text{亦为其解.}\\ & \\ & \text{定理2：若}{y}_1(x)\text{为方程（1）的解，}{y}_2(x)\text{为（2）的解，则}y=y_1(x)+y_2(x)\text{为（1）}\\ & \text{的解. 若}{y}_1(x),y_2(x)\text{均为（1）的解，则}y=y_1(x)-y_2(x)\text{是（2）的解.}\\ & \\ & \text{定理3（叠加原理）：设}{y}_1(x)\text{是方程}{y}^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)\text{的特解，}{y}_2(x)\text{是方}\\ & \text{程}{y}^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_2(x)\text{的特解，则}y=k_1{y}_1(x)+k_2{y}_2(x)\text{是方程}\\ & y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=k_1{f}_1(x)+k_2{f}_2(x)\text{的解.}\\ & \\ & \text{定理4：设}{y}_1(x),y_2(x)\text{是方程（2）的两个线性无关的解，则}{C}_1{y}_1+C_2{y}_2\text{为（2）的通}\\ & \text{解；若还有}{y}^{\ast }(x)\text{是（1）的任一特解，则}y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)\text{是(1)的通解，}\\ & \text{其中}{C}_1,C_2\text{为两个任意的常数.}\\ & \\ & \text{【注】非齐通 = 齐通 + 非齐特.}\end{array}$$
3. 求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤（二阶以上类似）
   $$\begin{array}{rl}& \text{a. 写出}{y}^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0\text{对应的特征方程}{r}^2+pr+q=0.\\ & \\ & \text{b. 求出特征方程的两个根}{r}_1,r_2.\\ & \\ & \text{c. 根据}{r}_1,r_2\text{的不同形式，我们有如下的公式：}\end{array}$$
   $$\begin{array}{ll}{r}^2+pr+q=0\text{的两个根}{r}_1,r_2& \text{微分方程}{y}^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0\text{的通解}\\ r_1,r_2\text{为两个不同实根}& y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}\\ r_1,r_2\text{为两个相同实根}& y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}\\ r_1,r_2\text{为一对共轭虚根}\alpha \pm i\beta & y=(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)e^{\alpha x}\end{array}$$
4. 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的一般步骤（二阶以上类似）
   先求出相应齐次方程的通解 C1y1(x)+C2y2(x),再求出非齐次线性方程的一个特解y∗(x)，则非齐次线性方程的通解可表示为 C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x).求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法：根据 f(x) 的不同形式，我们可以分别设方程的特解为如下形式，再代回原方程，得到所设特解中各项系数的值.①若 f(x)=eλxPm(x) (其中 Pm(x) 为 m 阶多项式)，令 y∗=xkQm(x)eλx，其中 k 为特征根 λ 的重数.② f(x)=eαx[Pl(1)(x)cos⁡βx+Pn(2)(x)sin⁡βx]令 y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cos⁡βx+Rm(2)(x)sin⁡βx], m=max⁡{l,n}如果特征根为 α±iβ，则 k 为1；否则， k 为0. \begin{aligned} &\text{先求出相应齐次方程的通解} \ C_1y_1(x)+C_2y_2(x), \text{再求出非齐次线性方程的一个特解} \\ &y^*(x)，\text{则非齐次线性方程的通解可表示为} \ C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x). \\ \\ &\text{求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法：根据} \ f(x) \ \text{的不同形式，我们} \\ &\text{可以分别设方程的特解为如下形式，再代回原方程，得到所设特解中各项系数的值.} \\ \\ &① \text{若} \ f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) \ (\text{其中} \ P_m(x) \ \text{为} \ m \ \text{阶多项式})， \\ &\quad \text{令} \ y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}，\text{其中} \ k \ \text{为特征根} \ \lambda \ \text{的重数.} \\ \\ &② \ f(x)=e^{\alpha x}\left[ P_l^{(1)}(x)\cos\beta x+P_n^{(2)}(x)\sin\beta x \right] \\ &\quad \text{令} \ y^* = x^k e^{\alpha x}\left[ R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R_m^{(2)}(x)\sin\beta x \right], \ m = \max\{l,n\} \\ &\quad \text{如果特征根为} \ \alpha \pm i\beta，则 \ k \ \text{为1；否则，} \ k \ \text{为0.} \end{aligned} ​先求出相应齐次方程的通解 C1​y1​(x)+C2​y2​(x),再求出非齐次线性方程的一个特解y∗(x)，则非齐次线性方程的通解可表示为 C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+y∗(x).求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法：根据 f(x) 的不同形式，我们可以分别设方程的特解为如下形式，再代回原方程，得到所设特解中各项系数的值.①若 f(x)=eλxPm​(x) (其中 Pm​(x) 为 m 阶多项式)，令 y∗=xkQm​(x)eλx，其中 k 为特征根 λ 的重数.② f(x)=eαx[Pl(1)​(x)cosβx+Pn(2)​(x)sinβx]令 y∗=xkeαx[Rm(1)​(x)cosβx+Rm(2)​(x)sinβx], m=max{l,n}如果特征根为 α±iβ，则 k 为1；否则， k 为0.​

可降阶的高阶微分方程

$$\begin{array}{rl}& \text{（1）}{y}^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })\text{型的方程}\\ & \\ & \text{作变量代换}p=y^{\prime }，\text{则有}{y}^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}.\text{代入原方程有}\frac{dp}{dx}=f(x,p)，\text{这是一个关于变}\\ & \text{量}x,p\text{的一阶微分方程. 求解它，我们可以求出}p，\text{设}p=y^{\prime }=\phi (x,C)，\text{则积分可以}\\ & \text{得到}y.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{（2）}{y}^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })\text{型的方程}\\ & \\ & \text{作变量代换}p=y^{\prime }，\text{则有}{y}^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p.\text{代入原方程有}p\frac{dp}{dy}=f(y,p).\\ & \\ & \text{这是一个关于变量}y,p\text{的一阶微分方程. 求解它，可以求出}p，\text{设}p=y^{\prime }=\phi (y,C)，\\ & \text{则积分可以得到}y.\end{array}$$

欧拉方程

$$\begin{array}{rl}& \text{形如}{x}^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+a_2{x}^{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y=f(x)\text{的方程称为欧拉}\\ & \text{方程. 其求解步骤为：若}x>0，\text{令}x=e^t，\text{则有}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}，\\ & \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left[e^{-t}\frac{dy}{dt}\right]=\frac{d}{dt}\left[e^{-t}\frac{dy}{dt}\right]\cdot \frac{dt}{dx}=\left[e^{-t}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-e^{-t}\frac{dy}{dt}\right]e^{-t}=e^{-2t}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-e^{-2t}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right)\\ & \text{以此类推，将这些关系代回，则原方程可化为}n\text{阶常系数线性微分方程.}\\ & \\ & \text{若}x<0，\text{则令}x=-e^t，\text{类似可做.}\end{array}$$

差分方程

$$\begin{array}{rl}& 1.\text{一阶常系数线性齐次差分方程}{y}_{t+1}+a{y}_t=0\text{通解为}{y}_c=C\cdot (-a{)}^t，\\ & \\ & 2.\text{一阶常系数线性非齐次差分方程}{y}_{t+1}+a{y}_t=f(t)\text{通解为}{y}_t=y_c(t)+y_t^{\ast }.\text{其中}{y}_t^{\ast }\text{是非}\\ & \text{齐次差分方程的特解.}\\ & \\ & (1)f(t)=P_m(t)\\ & 1)\text{若}a\ne -1,\text{令}{y}_t^{\ast }=Q_m(t);\\ & 2)\text{若}a=-1,\text{令}{y}_t^{\ast }=t{Q}_m(t).\\ & \\ & (2)f(t)=d^t\cdot P_m(t),(d\ne 0)\\ & 1)\text{若}a+d\ne 0,\text{令}{y}_t^{\ast }=d^t\cdot Q_m(t);\\ & 2)\text{若}a+d=0,\text{令}{y}_t^{\ast }=t{d}^t\cdot Q_m(t).\end{array}$$

方程的求解

$$\begin{array}{rl}& \text{解：原式化为}f(x+\Delta x)-f(x)-2xf(x)\Delta x=o(\Delta x)\\ & \text{得：}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-2xf(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0\\ & \\ & f^{\prime }(x)-2xf(x)=0,\\ & \text{法1：}f(x)=C\cdot e^{\int 2xdx}=C\cdot e^{x^2},f(0)=2,C=2⟹f(1)=2e\\ & \\ & \text{法2：}{e}^{-x^2}{f}^{\prime }(x)+e^{-x^2}(-2x)f(x)=0\\ & {\left(e^{-x^2}f(x)\right)}^{\prime }=0⟹e^{-x^2}f(x)=C\\ & f(x)=C{e}^{x^2},f(0)=2,C=2⟹f(1)=2e.\end{array}$$
$$\text{【小结】看到有}o(\Delta x)，\text{且有}\Delta x\to 0，\text{考虑两侧同除}\Delta x\text{消去}o(\Delta x)。$$

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime }+y=x,\\ & e^x{y}^{\prime }+e^{x}y=x{e}^x,\\ & {\left(e^{x}y\right)}^{\prime }=x{e}^x,\\ & e^{x}y=(x-1)e^x+C,\\ & y=(x-1)+C{e}^{-x},C\in \mathbb{R}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{解：}y(x)=e^{-x}\left(\int e^{x}f(x)dx+C\right)=e^{-x}\left({\int }_0^x{e}^{t}f(t)dt+C\right)\\ & \\ & y(x+T)=e^{-(x+T)}\left({\int }_0^{x+T}{e}^{t}f(t)dt+C\right)\stackrel{u=t-T}{=}{e}^{-(x+T)}\left({\int }_{-T}^x{e}^{u+T}f(u+T)d(u+T)+C\right)\\ & =e^{-(x+T)}\left(e^T{\int }_{-T}^x{e}^{u}f(u)du+C\right)=e^{-x}\left({\int }_0^x{e}^{u}f(u)du+{\int }_{-T}^0{e}^{u}f(u)du\right)+C{e}^{-(x+T)}\\ & \\ & y(x+T)-y(x)=e^{-x}{\int }_{-T}^0{e}^{u}f(u)du+C{e}^{-(x+T)}-C{e}^{-x}=0\\ & \\ & \text{即当}C=\frac{{\int }_{-T}^0{e}^{u}f(u)du}{1-e^{-T}}\text{时，}y(x)\text{的周期为}T.C\text{是唯一的.}\\ & \\ & \text{故方程存在唯一的以周期为}T\text{的解.}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：}\\ & \text{1. 特征方程为}{\lambda }^2+2\lambda +1=0，{\lambda }_1={\lambda }_2=-1，\text{通解为}y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}.\\ & \\ & \text{由}y(0)=0⟹C_1=0；y^{\prime }(0)=1⟹C_2=1，\text{故}y=x{e}^{-x}.\\ & \text{计算积分：}{\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx=1.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{法2：}{\int }_0^{+\infty }y(x)dx={\int }_0^{+\infty }\left(-y^{\prime \prime }(x)-2y^{\prime }(x)\right)dx={\left(-y^{\prime }(x)-2y(x)\right)|}_0^{+\infty }\\ & =\left(-y^{\prime }(+\infty )-2y(+\infty )\right)-\left(-y^{\prime }(0)-2y(0)\right)=0-\left(-1-2\cdot 0\right)=1\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】如果函数}f(x)\text{是方程}{y}^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0\text{的解，且满足}a>0,b>0，\text{则有}\\ & \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0。\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{小结论证明：韦达定理，对于}a{x}^2+bx+c，x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\ & \\ & \text{此处}{x}_1+x_2=-a,x_1\cdot x_2=b>0，\text{故}{x}_1<0,x_2<0.\\ & \\ & \text{因此}\underset{x\to +\infty }{\lim }y(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{y}^{\prime }(x)=0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：}{\int }_0^{+\infty }f(x)dx={\int }_0^{+\infty }\left(-f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)\right)dx\\ & ={\left(-f^{\prime }(x)-af(x)\right)|}_0^{+\infty }=0-\left(-f^{\prime }(0)-af(0)\right)\\ & =n+am.\end{array}$$