线代强化NO23|二次型|合同标准形|惯性指数|惯性定理|合同规范形|正定二次型

原创于 2025-11-27 05:38:45 发布 · 355 阅读

9 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#线性代数

线代专栏收录该内容

23 篇文章

订阅专栏

二次型及其矩阵

$\begin{aligned} & \text{含有}n\text{个变量}x_1,x_2,\cdots,x_n\text{的二次齐次多项式}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j\ (\text{其中}a_{ij}=a_{ji}) \\ & \text{称为}n\text{元二次型，所有系数均为实数的二次型称为实二次型。如无特殊说明，以下考虑的均为实二次型。} \\ & \text{矩阵}A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\text{称为该二次型的矩阵。} \\ & \text{如果令}\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix},\text{结合矩阵的乘法，我们就可以把二次型写成矩阵形式：} \\ & f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x},\ \text{其中}\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A},\ \text{我们把矩阵}A\text{的秩也称为该二次型的秩。} \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\text{【注】（1）注意矩阵中有}a_{ij}=a_{ji},\text{可知该矩阵为实对称矩阵。}n\text{元实二次型与}n\text{阶实} \\ &\text{对称矩阵之间有着一一对应的关系。} \\ \\ &（2）\text{通过二次型写出其矩阵是本模块对考生最基本的要求，二次型的矩阵与其系数的} \\ &\text{关系是：对角线上的元素}a_{ii}\text{是}x_i^2\text{的系数，}a_{ij}\text{和}a_{ji}\text{均为}x_i x_j\text{系数的一半。例如，对二} \\ &\text{次型}f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2x_2x_3,\text{用上述方法不难求得其矩} \\ &\text{阵为}\begin{bmatrix}3&2&-1\\2&-1&1\\-1&1&2\end{bmatrix}。 \end{aligned}$

合同标准形

合同变换

非退化的线性变换
$\begin{aligned} &\text{如果令}\begin{cases} x_1 = c_{11}y_1 + c_{12}y_2 + \cdots + c_{1n}y_n \\ x_2 = c_{21}y_1 + c_{22}y_2 + \cdots + c_{2n}y_n \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ x_n = c_{n1}y_1 + c_{n2}y_2 + \cdots + c_{nn}y_n \end{cases},\ \text{其中}|C|=\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix}\neq 0,\ \\& \text{则称该变量代换为非退化的线性变换。} \\ \\ &\text{如果令}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\ \boldsymbol{y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix},\ \text{则该变换也可以简记为}\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}。 \end{aligned}$
二次型的合同关系
$\begin{aligned} &\text{设有}n\text{元二次型}f=\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}\text{和}g=\boldsymbol{y}^T B\boldsymbol{y},\text{如果存在非退化的线性变换}\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}, \\ &\text{将二次型}f\text{变成}g,\text{则称这两个二次型合同，记作}f\simeq g。 \end{aligned}$
矩阵的合同关系
$\begin{aligned} &\text{设有}n\text{阶实对称矩阵}A\text{和}B,\text{如果存在可逆矩阵}C,\text{使得}C^TAC=B,\text{则称矩阵}A\text{和} \\ &B\text{合同，记作}A\simeq B. \\ \\ &\text{【注】①要注意讨论合同关系的矩阵必须是实对称矩阵。} \\ \\ &②\text{从定义易知两个二次型}f=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}\text{和}g=\boldsymbol{y}^TB\boldsymbol{y}\text{合同的充要条件是它们的矩阵}A \\ &\text{和}B\text{合同。} \\ \\ &③\text{通过定义，我们不难得到合同矩阵的如下性质：对任意}n\text{阶实对称矩阵}A,B,C, \\ &\text{有}A\text{与}A\text{合同；若}A\text{与}B\text{合同，则}B\text{与}A\text{合同；若}A\text{与}B\text{合同且}B\text{与}C\text{合同，则}A\text{与} \\ &C\text{合同。} \end{aligned}$
常见性质
$\begin{aligned} &①\ A \simeq B \implies A^T \simeq B^T; \\ &②\ A \simeq B\ \text{且矩阵}A\text{可逆} \implies A^{-1} \simeq B^{-1}; \\ &③\ A \simeq B \implies r(A) = r(B)。 \end{aligned}$

合同标准形

概念
$\begin{aligned} &\text{如果二次型}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_i x_j\text{中，只含有平方项，所有混合项}x_i x_j(i \neq j)\text{的系数全为零，也} \\ &\text{即形如}d_1x_1^2 + d_2x_2^2 + \dots + d_nx_n^2,\text{则称该二次型为标准形。} \\ \\ &\text{如果二次型}f = \boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}\text{合同于标准形}d_1x_1^2 + d_2x_2^2 + \cdots + d_nx_n^2,\text{则称} \\ &d_1x_1^2 + d_2x_2^2 + \cdots + d_nx_n^2\text{为二次型}f = \boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}\text{的合同标准形。} \\ \\ &\text{【注】求二次型的合同标准形是本模块的主要内容之一，具体来说，求二次型}\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}\text{的} \\ &\text{合同标准形也可以等价地描述为：求可逆矩阵}C,\text{使得非退化的线性变换}\boldsymbol{x} = C\boldsymbol{y}\text{能将} \\ &\text{原二次型化为标准形；或者，求可逆矩阵}C\text{以及对角矩阵}\Lambda,\text{使得}C^T A C = \Lambda。 \end{aligned}$
正交变换法
$\begin{aligned} &\text{实对称矩阵是可以正交相似对角化的，也即存在正交矩阵}\boldsymbol{Q}\text{及对角矩阵}\Lambda，\text{使得} \\ &\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\Lambda。\text{而求二次型的合同标准形就是求可逆矩阵}\boldsymbol{C}\text{以及对角矩阵}\Lambda_1， \\ &\text{使得}\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\Lambda_1，\text{对比可知，我们可以将可逆矩阵}\boldsymbol{C}\text{取成}\boldsymbol{Q}，\text{此时}\Lambda_1\text{就等于}\Lambda。 \\ \\ &\text{正交矩阵}\boldsymbol{Q}\text{及对角矩阵}\Lambda\text{的求法我们在上一章有详细的介绍，这里不再赘述。正交变} \\ &\text{换法是求二次型合同标准形的主要方法，考生要熟练掌握。} \\ \\ &\text{定理：任何一个实二次型都可以通过合同变换化为标准形。} \\ \\ &\text{【注】用正交变换法可以将任何一个实二次型化为标准形。} \end{aligned}$

惯性指数与惯性定理

惯性指数

$\begin{aligned} &\text{二次型}f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\text{的合同标准形}d_1x_1^2 + d_2x_2^2 + \dots + d_nx_n^2\text{中正项的个数称之为二次型} \\ &f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\text{的正惯性指数；相应地，其中负项的个数称之为二次型的负惯性指数。} \end{aligned}$

惯性定理

$\begin{aligned} &\text{定理（惯性定理）：对于一个实二次型}f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x},\text{不管通过怎样的坐标变换将它化为} \\ &\text{标准形，它的正惯性指数和负惯性指数都是不变的。} \end{aligned}$

合同规范形

$\begin{aligned} &\text{如果某一标准形中平方项的系数仅为}1, -1\text{或}0,\text{也即形如}x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2, \\ &\text{则称该二次型为规范形。} \\ \\ &\text{如果二次型}f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\text{合同于规范形}x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2,\text{则称} \\ &x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2\text{为}f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\text{的合同规范形。} \\ \\ &\text{【注】1）规范形的矩阵为对角矩阵}\begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_p & & \\ & -\boldsymbol{E}_q & \\ & & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}。 \\ \\ &2）\text{对比惯性指数的定义可知，二次型的合同规范形中}1\text{的个数等于二次型的正惯} \\ &\text{性指数，}-1\text{的个数等于二次型的负惯性指数。} \end{aligned}$

合同的充要条件

$\begin{aligned} &\text{定理：两个}n\text{元二次型合同的充要条件是它们的正惯性指数和负惯性指数均相同。} \\ \\ &\text{【注】两个二次型合同的充要条件还可以等价地描述为：} \\ &①\ \text{合同规范形相同；} \\ &②\ \text{特征值中正数和负数的个数一样。} \end{aligned}$

正定二次型

$\begin{aligned} &\text{对于}n\text{元实二次型}\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x},\ \boldsymbol{A}\text{为实对称矩阵，如果对任意的}n\text{维非零列向量}\boldsymbol{\alpha}\text{都有} \\ &\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha} > 0,\ \text{则称该二次型为正定二次型，相应地，称矩阵}\boldsymbol{A}\text{为正定矩阵。} \\ \\ &\text{【注】考生要熟悉正定二次型的常见性质：假设}n\text{元二次型}\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\text{正定，则有}a_{ii} > 0, \\ &|\boldsymbol{A}| > 0。 \end{aligned}$

正定二次型的判定方法

$\begin{aligned} &\text{定理1：设}\boldsymbol{A}\text{为实对称矩阵，}n\text{元实二次型}f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\text{正定} \\ &\iff \text{对任意非零的}n\text{维列向量}\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} > 0; \\ &\iff \boldsymbol{A}\text{的正惯性指数为}n; \\ &\iff \boldsymbol{A}\text{的特征值全大于零}; \\ &\iff \boldsymbol{A}\text{的合同规范形为}\boldsymbol{E}; \\ &\iff \text{存在可逆矩阵}\boldsymbol{P}\text{使得}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}^T \boldsymbol{P}; \\ &\iff \boldsymbol{A}\text{的所有顺序主子式全大于零。} \end{aligned}$