26考研|高等代数：二次型_高等代数二次型笔记-优快云博客

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这一章向我们介绍了一种特殊的二次齐次多项式——二次型，由于其特殊的结构与性质，它可以运用矩阵来进行表示与计算。除此之外，本章还介绍了矩阵的另一重要关系——合同。本章的重点是掌握二次型的化简以及正定二次型的判断；难点在于关于矩阵合同关系的理解以及相关的运用。

课本简单概括

5.1二次型及其矩阵表示

本小节介绍了二次型的相关概念以及如何运用矩阵进行表示二次型，构建起了矩阵与二次型之间的联系。除此之外，还应重点理解非退化线性替换这一概念（非退化：即所进行变换中系数矩阵为可可逆阵；线性：即变换过程中都是一次项进行替换），掌握运用非退化线性替换的方法对二次型进行变换。最后，本小节应该重点理解矩阵之间的合同关系，以及合同具有的性质——自反性、对称性、传递性。认识到：经过非退化线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。

5.2标准型

本小节所介绍的两个定理分别对应着两种对于二次型的处理方法。定理1说明着任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和的形式；定理2说明了二次型所对应的矩阵（对称矩阵）经过合同变换都可以变成一个对角矩阵。本小节需要掌握将任意标准型转化成其对应的合同标准型的方法——非退化线性替换法、合同变换法。

5.3唯一性

本小节介绍了二次型分别在复数域以及实数域上的规范型，使得对于二次型的分析更加系统化。同时介绍了惯性定理，这是一个非常重要的定理，阐述了实二次型的规范型中，所对应的正负惯性指数的相关问题。从理论上给出了任意一个二次型可以变化成为统一的规范型。

5.4正定二次型

本小节介绍了一种非常重要的二次型——正定二次型，并介绍了判断一个二次型是否正定的方法：定义证明法、顺序主子式验证法、规范型判断正惯性指数法以及利用其所对应的矩阵是否与单位矩阵合同的方法进行判断。本小节要重点学习和理解，尤其是对于正定二次型的判定。在最后，本节也向我们简单介绍了半正定型以及负定型等其他形式的二次型。