实对称矩阵的特殊性质
设 A 为 n 阶实对称矩阵（AT=A），则关于 A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理 1：A 的所有特征值均为实数。定理 2：A 属于不同特征值的特征向量必正交。定理 3：A 一定有 n 个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化。 \begin{aligned} &\text{设 } \boldsymbol{A} \text{ 为 } n \text{ 阶实对称矩阵（} \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A} \text{），则关于 } \boldsymbol{A} \text{ 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：} \\ &\text{定理 1：} \boldsymbol{A} \text{ 的所有特征值均为实数。} \\ &\text{定理 2：} \boldsymbol{A} \text{ 属于不同特征值的特征向量必正交。} \\ &\text{定理 3：} \boldsymbol{A} \text{ 一定有 } n \text{ 个线性无关的特征向量，即 } \boldsymbol{A} \text{ 可以对角化。} \end{aligned} 设 A 为 n 阶实对称矩阵（AT=A），则关于 A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理 1：A 的所有特征值均为实数。定理 2：A 属于不同特征值的特征向量必正交。定理 3：A 一定有 n 个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化。
实对称矩阵的正交相似对角化
定义
假设 A 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 Q，使得Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)，其中 λ1,λ2,⋯ ,λn 为矩阵 A 的特征值。 \begin{aligned} &\text{假设 } \boldsymbol{A} \text{ 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 } \boldsymbol{Q} \text{，使得} \\ &\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)，\\ &\text{其中 } \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \text{ 为矩阵 } \boldsymbol{A} \text{ 的特征值。} \end{aligned} 假设 A 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 Q，使得Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)，其中 λ1,λ2,⋯,λn 为矩阵 A 的特征值。
计算方法
将实对称矩阵 A 正交相似对角化的基本步骤：(1) 先求出 A 所有的特征值及 n 个线性无关的特征向量；(2) 对于每一个特征值 λi：如果 λi 为单特征值，则直接将它的特征向量单位化；如果 λi 为重特征值，则将它的特征向量先正交化再单位化；(3) 以正交化单位化之后的特征向量作为列向量即得到正交矩阵 Q； 将所有特征值按照 Q 中特征向量对应的次序排列起来作为对角线元素即得到对角矩阵 Λ。 \begin{aligned} &\text{将实对称矩阵 } \boldsymbol{A} \text{ 正交相似对角化的基本步骤：} \\ &(1) \text{ 先求出 } \boldsymbol{A} \text{ 所有的特征值及 } n \text{ 个线性无关的特征向量；} \\ &(2) \text{ 对于每一个特征值 } \lambda_i： \\ &\quad \text{如果 } \lambda_i \text{ 为单特征值，则直接将它的特征向量单位化；} \\ &\quad \text{如果 } \lambda_i \text{ 为重特征值，则将它的特征向量先正交化再单位化；} \\ &(3) \text{ 以正交化单位化之后的特征向量作为列向量即得到正交矩阵 } \boldsymbol{Q}；\text{ 将所有特征值按} \\ &\quad \text{照 } \boldsymbol{Q} \text{ 中特征向量对应的次序排列起来作为对角线元素即得到对角矩阵 } \boldsymbol{\Lambda}。 \end{aligned} 将实对称矩阵 A 正交相似对角化的基本步骤：(1) 先求出 A 所有的特征值及 n 个线性无关的特征向量；(2) 对于每一个特征值 λi：如果 λi 为单特征值，则直接将它的特征向量单位化；如果 λi 为重特征值，则将它的特征向量先正交化再单位化；(3) 以正交化单位化之后的特征向量作为列向量即得到正交矩阵 Q； 将所有特征值按照 Q 中特征向量对应的次序排列起来作为对角线元素即得到对角矩阵 Λ。
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解: (1) A的秩为2，则∣A∣=0，另一个特征值为0。设A的特征向量为(x1x2x3)，则{x1+x2=02x1+x2+x3=0基础解系为(−111)，0的特征向量为k(−111)，k≠0(2)A=PΛP−1=(−112111101)(066)(−112111101)−1 \begin{aligned} &\text{解: (1) } \boldsymbol{A} \text{的秩为2，则} |\boldsymbol{A}| = 0 \text{，另一个特征值为0。} \\ &\text{设} \boldsymbol{A} \text{的特征向量为} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \text{，则} \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{cases} \\ &\text{基础解系为} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{，0的特征向量为} k\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{，} k \neq 0 \\ & \\ &(2) \boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ & 6 \\ & & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \end{aligned} 解: (1) A的秩为2，则∣A∣=0，另一个特征值为0。设A的特征向量为x1x2x3，则{x1+x2=02x1+x2+x3=0基础解系为−111，0的特征向量为k−111，k=0(2)A=PΛP−1=−111110211066−111110211−1
(−112100111010101001)→(1−1−2−100023110013101)→(1−1−2−10001310100113−1323)→(1−10−13−234301001−100113−1323)→(100−13131301001−100113−1323) \begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ &\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{array} \right) \\ &\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{array} \right) \\ &\to \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{array} \right) \end{aligned} −111110211100010001→100−121−233−111010001→100−110−231−113100−310132→100−110001−31031−321−3134−132→100010001−31031311−3131−132
=(−112111101)((−600000000)+6E)(−13131301−113−1323)=(−112111101)(−600000000)(−13131301−113−1323)+(−112111101)⋅6E⋅(−13131301−113−1323)=(−112111101)(2−2−2000000)+6E=(−2222−2−22−2−2)+6E=(42224−22−24) \begin{aligned} &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} -6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + 6\boldsymbol{E} \right) \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & -1 \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & -1 \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot 6\boldsymbol{E} \cdot \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & -1 \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + 6\boldsymbol{E} \\ &= \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix} + 6\boldsymbol{E} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned} =−111110211−600000000+6E−31031311−3131−132=−111110211−600000000−31031311−3131−132+−111110211⋅6E⋅−31031311−3131−132=−111110211200−200−200+6E=−2222−2−22−2−2+6E=42224−22−24
法2
三阶可相似对角化阵，若有二重特征值，即秩为1的矩阵.3−r(A−6E)=2 ⟹ r(A−6E)=1(2)设A的特征值为0,6,6.B的特征值为−6,0,0.设B=A−6E,则r(B)=1,A的0的特征向量是(−111),B的−6的特征向量是(−111), tr(B)=−6.故(−k1k1k1)为B的第1列. 因r(B)=1,B又为实对称阵，设B为(−k1k1k1k1−k1−k1k1−k1−k1), tr(B)=−3k1=−6 ⟹ k1=2.B=(−2222−2−22−2−2), A=(42224−22−24). \begin{aligned} &\text{三阶可相似对角化阵，若有二重特征值，即秩为1的矩阵.} \\ &3 - r(\boldsymbol{A} - 6\boldsymbol{E}) = 2 \implies r(\boldsymbol{A} - 6\boldsymbol{E}) = 1 \\ &(2)\text{设}\boldsymbol{A}\text{的特征值为}0, 6, 6.\\&\boldsymbol{B}的特征值为-6, 0, 0. \\ &\text{设}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} - 6\boldsymbol{E},\text{则}r(\boldsymbol{B}) = 1, \\ &\boldsymbol{A}\text{的}0\text{的特征向量是}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \\ &\boldsymbol{B}\text{的}-6\text{的特征向量是}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\ \text{tr}(\boldsymbol{B}) = -6. \\ &\text{故}\begin{pmatrix} -k_1 \\ k_1 \\ k_1 \end{pmatrix}\text{为}\boldsymbol{B}\text{的第1列. 因}r(\boldsymbol{B}) = 1,\boldsymbol{B}\text{又为实对称阵，} \\ &\text{设}\boldsymbol{B}\text{为}\begin{pmatrix} -k_1 & k_1 & k_1 \\ k_1 & -k_1 & -k_1 \\ k_1 & -k_1 & -k_1 \end{pmatrix},\ \text{tr}(\boldsymbol{B}) = -3k_1 = -6 \implies k_1 = 2. \\ &\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}. \end{aligned} 三阶可相似对角化阵，若有二重特征值，即秩为1的矩阵.3−r(A−6E)=2⟹r(A−6E)=1(2)设A的特征值为0,6,6.B的特征值为−6,0,0.设B=A−6E,则r(B)=1,A的0的特征向量是−111,B的−6的特征向量是−111, tr(B)=−6.故−k1k1k1为B的第1列. 因r(B)=1,B又为实对称阵，设B为−k1k1k1k1−k1−k1k1−k1−k1, tr(B)=−3k1=−6⟹k1=2.B=−2222−2−22−2−2, A=42224−22−24.
【小结】①实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，当实对称矩阵仅剩下最后一个特征值的特征向量未知时，可以通过该方法求得特征向量.②若 A 有两个重根 λ1，在反求 A 时，可用A=QΛQT=Q(Λ−λ1E+λ1E)QT=Q(Λ−λ1E)QT+Q(λ1E)QT=Q(Λ−λ1E)QT+λ1E来简化计算。 \begin{aligned} &\text{【小结】①实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，} \\ &\text{当实对称矩阵仅剩下最后一个特征值的特征向量未知时，可以通过该方法求得特征向量.} \\ &②\text{若 } \boldsymbol{A} \text{ 有两个重根 } \lambda_1 \text{，在反求 } \boldsymbol{A} \text{ 时，可用} \\ &\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^T = \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda_1\boldsymbol{E} + \lambda_1\boldsymbol{E})\boldsymbol{Q}^T \\ &= \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda_1\boldsymbol{E})\boldsymbol{Q}^T + \boldsymbol{Q}(\lambda_1\boldsymbol{E})\boldsymbol{Q}^T = \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\Lambda} - \lambda_1\boldsymbol{E})\boldsymbol{Q}^T + \lambda_1\boldsymbol{E} \\ &\text{来简化计算。} \end{aligned} 【小结】①实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，当实对称矩阵仅剩下最后一个特征值的特征向量未知时，可以通过该方法求得特征向量.②若 A 有两个重根 λ1，在反求 A 时，可用A=QΛQT=Q(Λ−λ1E+λ1E)QT=Q(Λ−λ1E)QT+Q(λ1E)QT=Q(Λ−λ1E)QT+λ1E来简化计算。
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例：(abb⋯bbab⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯a)→(a+(n−1)ba+(n−1)b⋯a+(n−1)bba⋯b⋮⋮⋮bb⋯a)当a+(n−1)b≠0时，(11⋯1ba⋯b⋮⋮⋮bb⋯a)→(11⋯10a−b⋯0⋮⋮⋮00⋯a−b)当a−b≠0时，方程组有唯一解.当a−b=0时，基础解系为(−110⋮0),(−101⋮0),⋯ ,(−100⋮1)全部解为k1(−110⋮0)+k2(−101⋮0)+⋯+kn−1(−100⋮1), k1,k2,⋯ ,kn−1为任意常数. \begin{aligned} &\text{例：}\begin{pmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a+(n-1)b & a+(n-1)b & \cdots & a+(n-1)b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix} \\ & \\ &\text{当}a+(n-1)b \neq 0\text{时，} \\ &\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a-b \end{pmatrix} \\ & \\ &\text{当}a-b \neq 0\text{时，方程组有唯一解.} \\ & \\ &\text{当}a-b = 0\text{时，基础解系为}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \\ & \\ &\text{全部解为}k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + k_{n-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2,\cdots,k_{n-1}\text{为任意常数.} \end{aligned} 例：ab⋮bba⋮bbb⋮b⋯⋯⋯bb⋮a→a+(n−1)bb⋮ba+(n−1)ba⋮b⋯⋯⋯a+(n−1)bb⋮a当a+(n−1)b=0时，1b⋮b1a⋮b⋯⋯⋯1b⋮a→10⋮01a−b⋮0⋯⋯⋯10⋮a−b当a−b=0时，方程组有唯一解.当a−b=0时，基础解系为−110⋮0,−101⋮0,⋯,−100⋮1全部解为k1−110⋮0+k2−101⋮0+⋯+kn−1−100⋮1, k1,k2,⋯,kn−1为任意常数.
当 a+(n−1)b=0 时，((1−n)bb⋯bb(1−n)b⋯b⋮⋮⋮bb⋯(1−n)b)→(1−n1⋯111−n⋯1⋮⋮⋮11⋯1−n)→(1−n1⋯1n−n⋯0⋮⋮⋮n0⋯−n)→(00⋯01−1⋯0⋮⋮⋮10⋯−1)基础解系为 (11⋮1),全部解为 kn(11⋮1), kn∈R. \begin{aligned} &\text{当 } a+(n-1)b = 0 \text{ 时，} \\ &\begin{pmatrix} (1-n)b& b & \cdots & b \\ b & (1-n)b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & (1-n)b \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1-n & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1-n & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1-n \end{pmatrix} \\ &\to \begin{pmatrix} 1-n & 1 & \cdots & 1 \\ n & -n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 0 & \cdots & -n \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 0 & \cdots & -1 \end{pmatrix} \\ &\text{基础解系为 } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \\ &\text{全部解为 } k_{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix},\ k_{n} \in \mathbb{R}. \end{aligned} 当 a+(n−1)b=0 时，(1−n)bb⋮bb(1−n)b⋮b⋯⋯⋯bb⋮(1−n)b→1−n1⋮111−n⋮1⋯⋯⋯11⋮1−n→1−nn⋮n1−n⋮0⋯⋯⋯10⋮−n→01⋮10−1⋮0⋯⋯⋯00⋮−1基础解系为 11⋮1,全部解为 kn11⋮1, kn∈R.
法二：用特征值和特征向量设A=(abb⋯bbab⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯a), B=(bbb⋯bbbb⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯b), A=B+(a−b)EB的特征值：0 (n−1重), nbA的特征值：a−b (n−1重), a+(n−1)b当a−b=0时，AX=0有无穷多解.A的特征值a−b的特征向量为B的特征值0的特征向量.全部解为：k1(−110⋮0)+k2(−101⋮0)+⋯+kn−1(−100⋮1), k1,k2,⋯ ,kn−1为任意常数.当a+(n−1)b=0时，AX=0有无穷多解.A的特征值a+(n−1)b的特征向量为B的特征值nb的特征向量，即B的第一列：(1,1,⋯ ,1)T.基础解系为：(1,1,⋯ ,1)T, 全部解为：kn(1,1,⋯ ,1)T, kn∈R. \begin{aligned} &\text{法二：用特征值和特征向量} \\ &\text{设}\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{pmatrix},\ \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b & b & b & \cdots & b \\ b & b & b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & b \end{pmatrix},\ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} + (a - b)\boldsymbol{E} \\ & \\ &\boldsymbol{B}\text{的特征值：}0\ (n-1\text{重}),\ nb \\ & \\ &\boldsymbol{A}\text{的特征值：}a - b\ (n-1\text{重}),\ a + (n-1)b \\ & \\ &\text{当}a - b = 0\text{时，}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} = 0\text{有无穷多解.} \\ &\boldsymbol{A}\text{的特征值}a - b\text{的特征向量为}\boldsymbol{B}\text{的特征值}0\text{的特征向量.} \\ &\text{全部解为：}k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + k_{n-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2,\cdots,k_{n-1}\text{为任意常数.} \\ & \\ &\text{当}a + (n-1)b = 0\text{时，}\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} = 0\text{有无穷多解.} \\ &\boldsymbol{A}\text{的特征值}a + (n-1)b\text{的特征向量为}\boldsymbol{B}\text{的特征值}nb\text{的特征向量，} \\ &\text{即}\boldsymbol{B}\text{的第一列：}(1,1,\cdots,1)^T. \\ &\text{基础解系为：}(1,1,\cdots,1)^T,\ \text{全部解为：}k_{n}(1,1,\cdots,1)^T,\ k_{n} \in \mathbb{R}. \end{aligned} 法二：用特征值和特征向量设A=ab⋮bba⋮bbb⋮b⋯⋯⋯bb⋮a, B=bb⋮bbb⋮bbb⋮b⋯⋯⋯bb⋮b, A=B+(a−b)EB的特征值：0 (n−1重), nbA的特征值：a−b (n−1重), a+(n−1)b当a−b=0时，AX=0有无穷多解.A的特征值a−b的特征向量为B的特征值0的特征向量.全部解为：k1−110⋮0+k2−101⋮0+⋯+kn−1−100⋮1, k1,k2,⋯,kn−1为任意常数.当a+(n−1)b=0时，AX=0有无穷多解.A的特征值a+(n−1)b的特征向量为B的特征值nb的特征向量，即B的第一列：(1,1,⋯,1)T.基础解系为：(1,1,⋯,1)T, 全部解为：kn(1,1,⋯,1)T, kn∈R.
法三：系数矩阵的特征值为 a−b (n−1重), a+(n−1)b.∣A∣=(a−b)n−1(a+(n−1)b)①当 a≠b 且 a≠−(n−1)b 时，方程组仅有零解.②当 a=b 时，A=(bbb⋯bbbb⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯b)→(11⋯100⋯0⋮⋮⋮00⋯0) 则全部解为：k1(−110⋮0)+k2(−101⋮0)+⋯+kn−1(−100⋮1), k1,k2,⋯ ,kn−1为任意常数.当 a=−(n−1)b 时，(−(n−1)bb⋯bb−(n−1)b⋯b⋮⋮⋮bb⋯−(n−1)b)观察可知，每行的和为0, (1,1,⋯ ,1)T为其一个解.根据性质：可相似对角化矩阵的非零特征值个数等于秩，a=−(n−1)b=b−nb ⟹ a−b≠0, 非零特征值个数为n−1, r(A)=n−1.故基础解系为 (1,1,⋯ ,1)T, 全部解为 kn(1,1,⋯ ,1)T, kn∈R. \begin{aligned} &\text{法三：系数矩阵的特征值为 } a-b\ (n-1\text{重}),\ a+(n-1)b. \\ &|\boldsymbol{A}| = (a-b)^{n-1}(a+(n-1)b) \\ & \\ &①\text{当 } a \neq b \text{ 且 } a \neq -(n-1)b \text{ 时，方程组仅有零解.} \\ & \\ &②\text{当 } a = b \text{ 时，} \\ &\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} b & b & b & \cdots & b \\ b & b & b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & b \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\ \\ &\text{则全部解为：}k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + k_{n-1}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2,\cdots,k_{n-1}\text{为任意常数.} \\ & \\ &\text{当 } a = -(n-1)b \text{ 时，}\\&\begin{pmatrix} -(n-1)b & b & \cdots & b \\ b & -(n-1)b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & -(n-1)b \end{pmatrix} \\ &\text{观察可知，每行的和为}0,\ (1,1,\cdots,1)^T\text{为其一个解.} \\ &\text{根据性质：可相似对角化矩阵的非零特征值个数等于秩，} \\ &a = -(n-1)b=b-nb \implies a - b \neq 0,\ \text{非零特征值个数为}n-1,\ r(\boldsymbol{A}) = n-1. \\ &\text{故基础解系为 } (1,1,\cdots,1)^T,\ \text{全部解为 } k_n(1,1,\cdots,1)^T,\ k_n \in \mathbb{R}. \end{aligned} 法三：系数矩阵的特征值为 a−b (n−1重), a+(n−1)b.∣A∣=(a−b)n−1(a+(n−1)b)①当 a=b 且 a=−(n−1)b 时，方程组仅有零解.②当 a=b 时，A=bb⋮bbb⋮bbb⋮b⋯⋯⋯bb⋮b→10⋮010⋮0⋯⋯⋯10⋮0 则全部解为：k1−110⋮0+k2−101⋮0+⋯+kn−1−100⋮1, k1,k2,⋯,kn−1为任意常数.当 a=−(n−1)b 时，−(n−1)bb⋮bb−(n−1)b⋮b⋯⋯⋯bb⋮−(n−1)b观察可知，每行的和为0, (1,1,⋯,1)T为其一个解.根据性质：可相似对角化矩阵的非零特征值个数等于秩，a=−(n−1)b=b−nb⟹a−b=0, 非零特征值个数为n−1, r(A)=n−1.故基础解系为 (1,1,⋯,1)T, 全部解为 kn(1,1,⋯,1)T, kn∈R.
【小结】实对称矩阵的非零特征值的个数等于矩阵的秩； \boxed{【小结】\text{实对称矩阵的非零特征值的个数等于矩阵的秩；}} 【小结】实对称矩阵的非零特征值的个数等于矩阵的秩；
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