解的判定
{无解：r(A)<r(A∣β)唯一解：r(A)=r(A∣β)=n无穷多解：r(A)=r(A∣β)<n\begin{cases} \text{无解：} & r(A) < r(A|\boxed{\beta}) \\ \text{唯一解：} & r(A) = r(A|\boxed{\beta}) = n \\ \text{无穷多解：} & r(A) = r(A|\boxed{\beta}) < n \end{cases}⎩⎨⎧无解：唯一解：无穷多解：r(A)<r(A∣β)r(A)=r(A∣β)=nr(A)=r(A∣β)<n 特殊地，当A为n阶矩阵时：\text{特殊地，当}A\text{为}n\text{阶矩阵时：}特殊地，当A为n阶矩阵时： Ax=0:∣A∣≠0 ⟺ 有唯一解（零解）∣A∣=0 ⟺ 有无穷多解（非零解）Ax=β:∣A∣≠0 ⟹ 有唯一解∣A∣=0,无法直接判定\begin{aligned} &Ax=\boxed{0}: \\ &\quad|A| \neq 0 \iff \text{有唯一解（零解）} \\ &\quad|A| = 0 \iff \text{有无穷多解（非零解）} \\ &Ax=\boxed{\beta}: \\ &\quad|A| \neq 0 \implies \text{有唯一解} \\ &\quad|A| = 0, \text{无法直接判定} \end{aligned}Ax=0:∣A∣=0⟺有唯一解（零解）∣A∣=0⟺有无穷多解（非零解）Ax=β:∣A∣=0⟹有唯一解∣A∣=0,无法直接判定
![![[Pasted image 20251118204537.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/b3f24dd7e010410882ab3ef60cc9bac7.png)
解：∣λ111λ1111∣=∣λ−1000λ−10111∣=(λ−1)2≠0, 故 λ≠1\text{解：}\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2 \neq 0,\ \text{故}\ \lambda \neq 1解：λ111λ1111=λ−1010λ−11001=(λ−1)2=0, 故 λ=1
【小结】①数值型齐次线性方程组反求参数时，一般为方阵，故首先考虑使用行列式求解；②要理解利用行列式对数值型非齐次线性方程组进行解的判定的思想，行列式不为零时，方程组有唯一解，行列式等于零时，方程组无解或者无穷多解，所以当方程组不是有唯一解时，可以用行列式等于零将参数限定在很小的范围内，然后再判定是无解或者无穷多解即可。\begin{aligned} &\text{【小结】①数值型齐次线性方程组反求参数时，一般为方阵，故首先考虑使用行列式求解；} \\ &\quad\text{②要理解利用行列式对数值型非齐次线性方程组进行解的判定的思想，行列式不为零时，} \\ &\quad\text{方程组有唯一解，行列式等于零时，方程组无解或者无穷多解，所以当方程组不是有唯一} \\ &\quad\text{解时，可以用行列式等于零将参数限定在很小的范围内，然后再判定是无解或者无穷多解即可。} \\ \end{aligned}【小结】①数值型齐次线性方程组反求参数时，一般为方阵，故首先考虑使用行列式求解；②要理解利用行列式对数值型非齐次线性方程组进行解的判定的思想，行列式不为零时，方程组有唯一解，行列式等于零时，方程组无解或者无穷多解，所以当方程组不是有唯一解时，可以用行列式等于零将参数限定在很小的范围内，然后再判定是无解或者无穷多解即可。
![![[Pasted image 20251118210124.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c7d311420add4c53badc5cbf349069e6.png)
解：(111⋮112a⋮d14a2⋮d2)→(111⋮101a−1⋮d−103a2−1⋮d2−1)→(111⋮101a−1⋮d−100(a−1)(a−2)⋮(d−1)(d−2))r(A)=r(A∣β)<3 ⟹ {(a−1)(a−2)=0(d−1)(d−2)=0 ⟹ (a=1 或 a=2) 且 (d=1 或 d=2)a∈Ω, d∈Ω, 选(D)\begin{aligned} &\text{解：} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 1 & 2 & a & \vdots & d \\ 1 & 4 & a^2 & \vdots & d^2 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & \vdots & d-1 \\ 0 & 3 & a^2-1 & \vdots & d^2-1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & \vdots & d-1 \\ 0 & 0 & (a-1)(a-2) & \vdots & (d-1)(d-2) \\ \end{pmatrix} \\ &\quad r(A) = r(A|\boxed{\beta}) < 3 \implies \begin{cases} (a-1)(a-2) = 0 \\ (d-1)(d-2) = 0 \end{cases} \implies (a=1\text{ 或 }a=2)\text{ 且 }(d=1\text{ 或 }d=2) \\ &\quad a \in \Omega,\ d \in \Omega,\ \text{选(D)} \end{aligned}解：1111241aa2⋮⋮⋮1dd2→1001131a−1a2−1⋮⋮⋮1d−1d2−1→1001101a−1(a−1)(a−2)⋮⋮⋮1d−1(d−1)(d−2)r(A)=r(A∣β)<3⟹{(a−1)(a−2)=0(d−1)(d−2)=0⟹(a=1 或 a=2) 且 (d=1 或 d=2)a∈Ω, d∈Ω, 选(D)
解：法2：∣11112a14a2∣=(a−2)(a−1)(2−1)=0 ⟹ a=1 或 a=2.当a=1时：(111⋮1121⋮d141⋮d2)→(111⋮1010⋮d−1030⋮d2−1)→(111⋮1010⋮d−1000⋮(d−1)(d−2))(d=1 或 d=2)当a=2时：(111⋮1122⋮d144⋮d2)→(111⋮1011⋮d−1033⋮d2−1)→(111⋮1010⋮d−1000⋮(d−1)(d−2))(d=1 或 d=2)\begin{aligned} &\text{解：法2：}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \\ \end{vmatrix} = (a-2)(a-1)(2-1) = 0 \implies a=1\text{ 或 }a=2. \\ &\text{当}a=1\text{时：} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \vdots & d \\ 1 & 4 & 1 & \vdots & d^2 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & d-1 \\ 0 & 3 & 0 & \vdots & d^2-1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & d-1 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & (d-1)(d-2) \\ \end{pmatrix} \quad (d=1\text{ 或 }d=2) \\ &\text{当}a=2\text{时：} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \vdots & d \\ 1 & 4 & 4 & \vdots & d^2 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & d-1 \\ 0 & 3 & 3 & \vdots & d^2-1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & d-1 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots & (d-1)(d-2) \\ \end{pmatrix} \quad (d=1\text{ 或 }d=2) \\ \end{aligned}解：法2：1111241aa2=(a−2)(a−1)(2−1)=0⟹a=1 或 a=2.当a=1时：111124111⋮⋮⋮1dd2→100113100⋮⋮⋮1d−1d2−1→100110100⋮⋮⋮1d−1(d−1)(d−2)(d=1 或 d=2)当a=2时：111124124⋮⋮⋮1dd2→100113113⋮⋮⋮1d−1d2−1→100110100⋮⋮⋮1d−1(d−1)(d−2)(d=1 或 d=2)
![![[Pasted image 20251118212403.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/c4c647c2ab5242dcb74c3a6f0a10c43e.png)
解：(1100⋮−α10110⋮α20011⋮−α31001⋮α4)→(1100⋮−α10110⋮α20011⋮−α30−101⋮α4+α1)→(1100⋮−α10110⋮α20011⋮−α30011⋮α1+α2+α4)→(1100⋮−α10110⋮α20011⋮−α30000⋮α1+α2+α3+α4)α1+α2+α3+α4=0\begin{aligned} &\text{解：} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \vdots & -\alpha_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \vdots & \alpha_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vdots & -\alpha_3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & \vdots & \alpha_4 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \vdots & -\alpha_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \vdots & \alpha_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vdots & -\alpha_3 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & \vdots & \alpha_4 + \alpha_1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \vdots & -\alpha_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \vdots & \alpha_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vdots & -\alpha_3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vdots & \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \vdots & -\alpha_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \vdots & \alpha_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \vdots & -\alpha_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \\ \end{pmatrix} \\ &\quad \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 0 \end{aligned}解：1001110001100011⋮⋮⋮⋮−α1α2−α3α4→1000110−101100011⋮⋮⋮⋮−α1α2−α3α4+α1→1000110001110011⋮⋮⋮⋮−α1α2−α3α1+α2+α4→1000110001100010⋮⋮⋮⋮−α1α2−α3α1+α2+α3+α4α1+α2+α3+α4=0
【小结】①对于数值型非齐次方程组的系数矩阵不是三阶方阵时，首先考虑利用初等行变换求出系数矩阵的秩和增广矩阵的秩再进行判定。②求矩阵的秩本来是可以既做初等行变换，也可以做初等列变换的，但是由于想一次得出两个矩阵的秩，所以只能做初等行变换。\begin{aligned} &\text{【小结】①对于数值型非齐次方程组的系数矩阵不是三阶方阵时，首先考虑利用初等行} \\ &\quad\text{变换求出系数矩阵的秩和增广矩阵的秩再进行判定。} \\ &\quad\text{②求矩阵的秩本来是可以既做初等行变换，也可以做初等列变换的，但是由于想一次得} \\ &\quad\text{出两个矩阵的秩，所以只能做初等行变换。} \\ \end{aligned}【小结】①对于数值型非齐次方程组的系数矩阵不是三阶方阵时，首先考虑利用初等行变换求出系数矩阵的秩和增广矩阵的秩再进行判定。②求矩阵的秩本来是可以既做初等行变换，也可以做初等列变换的，但是由于想一次得出两个矩阵的秩，所以只能做初等行变换。
![![[Pasted image 20251118215723.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/3d0d17bd11be4d66bad7ddc234ad27da.png)
A:r(A)=r(A∣α)<nB:r(A)=r(A∣α)=nC:r(AααT0)=n+1D:r(AααT0)<n+1\begin{aligned} &A:\quad r(A) = r(A|\boxed{\alpha}) < n \quad\quad\quad\quad B:\quad r(A) = r(A|\boxed{\alpha}) = n \\ &C:\quad r\begin{pmatrix} A & \boxed{\alpha} \\ \boxed{\alpha}^T & 0 \end{pmatrix} = n+1 \quad\quad D:\quad r\begin{pmatrix} A & \boxed{\alpha} \\ \boxed{\alpha}^T & 0 \end{pmatrix} < n+1 \end{aligned}A:r(A)=r(A∣α)<nB:r(A)=r(A∣α)=nC:r(AαTα0)=n+1D:r(AαTα0)<n+1
r(A)<n+1
r(A) < n+1
r(A)<n+1
【小结】对于抽象型线性方程组的解的判定，一律通过秩来判定。设A为m×n阶矩阵，则线性方程组Ax=b无解 ⟺ r(A)<r(A,b)；线性方程组Ax=b有唯一解 ⟺ r(A)=r(A,b)=n；线性方程组Ax=b有无穷多解 ⟺ r(A)=r(A,b)<n。\begin{aligned} &\text{【小结】对于抽象型线性方程组的解的判定，一律通过秩来判定。} \\ &\text{设}A\text{为}m \times n\text{阶矩阵，则} \\ &\text{线性方程组}A\boxed{x} = \boxed{b}\text{无解} \iff r(A) < r(A, \boxed{b})； \\ &\text{线性方程组}A\boxed{x} = \boxed{b}\text{有唯一解} \iff r(A) = r(A, \boxed{b}) = n； \\ &\text{线性方程组}A\boxed{x} = \boxed{b}\text{有无穷多解} \iff r(A) = r(A, \boxed{b}) < n。 \\ \end{aligned}【小结】对于抽象型线性方程组的解的判定，一律通过秩来判定。设A为m×n阶矩阵，则线性方程组Ax=b无解⟺r(A)<r(A,b)；线性方程组Ax=b有唯一解⟺r(A)=r(A,b)=n；线性方程组Ax=b有无穷多解⟺r(A)=r(A,b)<n。
线性方程组的通解
![![[Pasted image 20251119030942.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/26c6f6132dc9425da9eb03e648570315.png)
解：(1100111−10000111)→(1100100−10−100111)→(110010010100010)其中x1,x3,x4为主元，其余变量x2,x5为自由量.令{x2=1x5=0，代入方程组得：{x1+x2+x5=0x3+x5=0x4=0 ⟹ {x1=−1x3=0x4=0 ⟹ (−11000)令{x2=0x5=1，代入方程组得：{x1+x2+x5=0x3+x5=0x4=0 ⟹ {x1=−1x3=−1x4=0 ⟹ (−10−101)则基础解系为(−11000), (−10−101)\begin{aligned} &\text{解：} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ &\quad \text{其中}x_1, x_3, x_4\text{为主元，其余变量}x_2, x_5\text{为自由量.} \\ &\quad \text{令}\begin{cases} x_2 = 1 \\ x_5 = 0 \end{cases}\text{，代入方程组得：} \begin{cases} x_1 + x_2 + x_5 = 0 \\ x_3 + x_5 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = -1 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\quad \text{令}\begin{cases} x_2 = 0 \\ x_5 = 1 \end{cases}\text{，代入方程组得：} \begin{cases} x_1 + x_2 + x_5 = 0 \\ x_3 + x_5 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = -1 \\ x_3 = -1 \\ x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &\quad \text{则基础解系为}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}解：1101100−11001101→1001000−110011−11→100100010001110其中x1,x3,x4为主元，其余变量x2,x5为自由量.令{x2=1x5=0，代入方程组得：⎩⎨⎧x1+x2+x5=0x3+x5=0x4=0⟹⎩⎨⎧x1=−1x3=0x4=0⟹−11000令{x2=0x5=1，代入方程组得：⎩⎨⎧x1+x2+x5=0x3+x5=0x4=0⟹⎩⎨⎧x1=−1x3=−1x4=0⟹−10−101则基础解系为−11000, −10−101
【小结】①齐次线性方程组求基础解系的步骤为：第一、通过初等行变换将系数矩阵化为简单阶梯形矩阵；第二、找出主元，其余变量为自由量；第三、对自由量赋值代入方程组，解出主元对应值。②注意以下四点。第一、主元位置元素为1，上方元素全为0的阶梯形矩阵为简单阶梯形矩阵；第二、每个非零行第一个非零元素为主元，所以主元个数与矩阵的秩相等，自由量的个数与主元的个数（矩阵的秩）的和为未知数的个数；第三、对自由量赋值时，若有一个自由量x2，可令x2=1,若有两个自由量x2，x3，则可分别令{x2=1x3=0和{x2=0x3=1,若有三个自由量x2，x3，x4，则可分别令{x2=1x3=0x4=0, {x2=0x3=1x4=0和{x2=0x3=0x4=1，主元对应值取非零自由量所在列的相反数即可；第四、注意基础解系和通解的区别，基础解系是一个线性无关的向量组，不能含有参数，而通解是全部解的集合，必须用参数来表示。\begin{aligned} &\text{【小结】①齐次线性方程组求基础解系的步骤为：} \\ &\quad\text{第一、通过初等行变换将系数矩阵化为简单阶梯形矩阵；} \\ &\quad\text{第二、找出主元，其余变量为自由量；} \\ &\quad\text{第三、对自由量赋值代入方程组，解出主元对应值。} \\ &\quad\text{②注意以下四点。} \\ &\quad\text{第一、主元位置元素为1，上方元素全为0的阶梯形矩阵为简单阶梯形矩阵；} \\ &\quad\text{第二、每个非零行第一个非零元素为主元，所以主元个数与矩阵的秩相等，自由量的个} \\ &\quad\text{数与主元的个数（矩阵的秩）的和为未知数的个数；} \\ &\quad\text{第三、对自由量赋值时，若有一个自由量}x_2\text{，可令}x_2 = 1, \\ &\quad\quad\text{若有两个自由量}x_2，x_3\text{，则可分别令}\begin{cases}x_2 = 1 \\ x_3 = 0\end{cases}\text{和}\begin{cases}x_2 = 0 \\ x_3 = 1\end{cases}, \\ &\quad\quad\text{若有三个自由量}x_2，x_3，x_4\text{，则可分别令}\begin{cases}x_2 = 1 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = 0\end{cases},\ \begin{cases}x_2 = 0 \\ x_3 = 1 \\ x_4 = 0\end{cases}\text{和}\begin{cases}x_2 = 0 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = 1\end{cases}\text{，主元对应} \\ &\quad\quad\text{值取非零自由量所在列的相反数即可；} \\ &\quad\text{第四、注意基础解系和通解的区别，基础解系是一个线性无关的向量组，不能含有参数，} \\ &\quad\text{而通解是全部解的集合，必须用参数来表示。} \\ \end{aligned}【小结】①齐次线性方程组求基础解系的步骤为：第一、通过初等行变换将系数矩阵化为简单阶梯形矩阵；第二、找出主元，其余变量为自由量；第三、对自由量赋值代入方程组，解出主元对应值。②注意以下四点。第一、主元位置元素为1，上方元素全为0的阶梯形矩阵为简单阶梯形矩阵；第二、每个非零行第一个非零元素为主元，所以主元个数与矩阵的秩相等，自由量的个数与主元的个数（矩阵的秩）的和为未知数的个数；第三、对自由量赋值时，若有一个自由量x2，可令x2=1,若有两个自由量x2，x3，则可分别令{x2=1x3=0和{x2=0x3=1,若有三个自由量x2，x3，x4，则可分别令⎩⎨⎧x2=1x3=0x4=0, ⎩⎨⎧x2=0x3=1x4=0和⎩⎨⎧x2=0x3=0x4=1，主元对应值取非零自由量所在列的相反数即可；第四、注意基础解系和通解的区别，基础解系是一个线性无关的向量组，不能含有参数，而通解是全部解的集合，必须用参数来表示。
自由量赋值的三个特点：①保证求出来的解线性无关（只要自由量构成的向量无关即可）②数字要简单，有利于计算③合情，有利于判卷\begin{aligned} &\text{自由量赋值的三个特点：} \\ &\quad ①\text{保证求出来的解线性无关（只要自由量构成的向量无关即可）} \\ &\quad ②\text{数字要简单，有利于计算} \\ &\quad ③\text{合情，有利于判卷} \\ \end{aligned}自由量赋值的三个特点：①保证求出来的解线性无关（只要自由量构成的向量无关即可）②数字要简单，有利于计算③合情，有利于判卷
![![[Pasted image 20251119034514.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/8760ca85cf764e5d8f5b75bd1f182e08.png)
解：∣1+α11122+α22333+α34444+α∣=(10+α)α3=0 ⟹ α=0, α=−10当α=0时，(1111222233334444)→(1111000000000000),其通解为k1(−1100)+k2(−1010)+k3(−1001), k1,k2,k3∈R当α=−10时，(−91112−82233−73444−6)→(00001−41133−73222−3)→(00001−411015−1000100−5)→(00001−41103−20020−1)→(1−4110−32100−2010000)→(1−2100−32100−2010000)→(1−12000−32100−2010000)k(121322)=k(1234), k∈R\begin{aligned} &\text{解：} \begin{vmatrix} 1+\alpha & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2+\alpha & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3+\alpha & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4+\alpha \\ \end{vmatrix} = (10+\alpha)\alpha^3 = 0 \implies \alpha=0,\ \alpha=-10 \\ &\text{当}\alpha=0\text{时，} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \text{其通解为} k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R} \\ &\text{当}\alpha=-10\text{时，} \begin{pmatrix} -9 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -8 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & -7 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & -6 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & -7 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 1 & 1 \\ 0 & 15 & -10 & 0 \\ 0 & 10 & 0 & -5 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 & 1 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ &k\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{3}{2} \\ 2 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R} \end{aligned}解：1+α23412+α34123+α41234+α=(10+α)α3=0⟹α=0, α=−10当α=0时，1234123412341234→1000100010001000,其通解为k1−1100+k2−1010+k3−1001, k1,k2,k3∈R当α=−10时，−92341−83412−74123−6→01320−43201−72013−3→01000−4151001−100010−5→01000−43201−20010−1→1000−4−23−2011001010→1000−2−23−2011000010→1000−21−23−2001000010k211232=k1234, k∈R
A=αβT,Aα=αβTα=tr(αβT)‾ α解：方法2：方程组的非零解即系数矩阵的特征值0的特征向量.令A=(1+α11122+α22333+α34444+α), B=(1111222233334444), A=B+αEB的特征值为0,0,0,10, A的特征值为α,α,α,α+10B的0的特征向量为(−1100),(−1010),(−1001); B的10的特征向量为(1234)A的α的特征向量为(−1100),(−1010),(−1001); A的α+10的特征向量为(1234)\begin{aligned} &A = \boxed{\alpha}\boxed{\beta}^T,\quad A\boxed{\alpha} = \boxed{\alpha}\boxed{\beta}^T\boxed{\alpha} = \underline{\text{tr}(\boxed{\alpha}\boxed{\beta}^T)}\ \boxed{\alpha} \\ &\text{解：方法2：方程组的非零解即系数矩阵的特征值0的特征向量.} \\ &\quad \text{令}A = \begin{pmatrix} 1+\alpha & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2+\alpha & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3+\alpha & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4+\alpha \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix},\ A = B + \alpha E \\ &\quad B\text{的特征值为}0,0,0,10,\ A\text{的特征值为}\alpha,\alpha,\alpha,\alpha+10 \\ &\quad B\text{的0的特征向量为}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};\ B\text{的10的特征向量为}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &\quad A\text{的}\alpha\text{的特征向量为}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};\ A\text{的}\alpha+10\text{的特征向量为}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}A=αβT,Aα=αβTα=tr(αβT) α解：方法2：方程组的非零解即系数矩阵的特征值0的特征向量.令A=1+α23412+α34123+α41234+α, B=1234123412341234, A=B+αEB的特征值为0,0,0,10, A的特征值为α,α,α,α+10B的0的特征向量为−1100,−1010,−1001; B的10的特征向量为1234A的α的特征向量为−1100,−1010,−1001; A的α+10的特征向量为1234
故当α=0时，通解为k1(−1100)+k2(−1010)+k3(−1001), k1,k2,k3∈R当α=−10时，通解为k(1234), k∈R\begin{aligned} &\text{故当}\alpha=0\text{时，通解为}k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R} \\ &\text{当}\alpha=-10\text{时，通解为}k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\ k\in\mathbb{R} \end{aligned}故当α=0时，通解为k1−1100+k2−1010+k3−1001, k1,k2,k3∈R当α=−10时，通解为k1234, k∈R
【小结】①求齐次线性方程组的基础解系，有快速解法，可以转化为求系数矩阵的特征值0的特征向量。②设系数矩阵为A，A=B+λE，其中B的秩为1，则A的特征值为λ（n−1重），tr(B)+λ.其中矩阵A的特征值λ的特征向量可利用初等行变换来求，矩阵A的特征值tr(B)+λ的特征向量与B的特征值tr(B)的特征向量相同，即B的第一列元素构成的列向量。\begin{aligned} &\text{【小结】①求齐次线性方程组的基础解系，有快速解法，可以转化为求系数矩阵的特征值0的特征向量。} \\ &\quad\text{②设系数矩阵为}A\text{，}A = B + \lambda E\text{，其中}B\text{的秩为1，} \\ &\quad\text{则}A\text{的特征值为}\lambda\text{（}n-1\text{重），}tr(B)+\lambda. \\ &\quad\text{其中矩阵}A\text{的特征值}\lambda\text{的特征向量可利用初等行变换来求，} \\ &\quad\text{矩阵}A\text{的特征值}tr(B)+\lambda\text{的特征向量与}B\text{的特征值}tr(B)\text{的特征向量相同，即}B\text{的} \\ &\quad\text{第一列元素构成的列向量。} \\ \end{aligned}【小结】①求齐次线性方程组的基础解系，有快速解法，可以转化为求系数矩阵的特征值0的特征向量。②设系数矩阵为A，A=B+λE，其中B的秩为1，则A的特征值为λ（n−1重），tr(B)+λ.其中矩阵A的特征值λ的特征向量可利用初等行变换来求，矩阵A的特征值tr(B)+λ的特征向量与B的特征值tr(B)的特征向量相同，即B的第一列元素构成的列向量。
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